Para qué valores no $\sum_0^\infty\frac{z^n}{1+z^{2n}}$ convergen?

Question

Estaba jugando la serie $\sum_0^\infty\frac{z^n}{1+z^{2n}}$ donde $z$ es complejo, tratando de averiguar donde converge.

Asumiendo $|z|>1$ $$ \frac{|z^n|}{|1+z^{2n}|}>\frac{|z^n|}{1+|z^{2n}|}>\frac{|z^n|}{2|z|^{2n}}=\frac{1}{2|z|^{n}} $$ pero que no me consiga mucho, desde que la serie cuyos términos son el último número de arriba es una serie convergente.

¿Qué es una mejor manera de acercarse a esta serie para determinar donde converge? Gracias.

Answer 1

Dado $z \in \mathbb{C}$$|z| > 1$, elija cualquier $r > 1$. Tenemos

$$|1 + z^{2n}| \geq \left|1 - |z|^{2n}\right| > \frac{|z|}{r}^{2n}$$ por lo suficientemente grande como $n$. La primera desigualdad proviene de $|a + b| \geq ||a| - |b||$, que es siempre verdadera, y la segunda, viene desde el límite $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\left|1 - |z|^{2n}\right|}{|z|^{2n}} = 1,$$ y la elección de $r$, lo que hace que $1/r$ menos de $1$. Ahora, aplicando la raíz de la prueba como azarel sugerido, obtenemos $$\limsup_n \sqrt[n]{\left|\frac{z^n}{1 + z^{2n}}\right|} < \limsup_n \frac{|z|}{\frac{|z|^2}{\sqrt[n]{r}}} = \frac{1}{|z|} < 1.$$ Por lo tanto, la serie converge para $|z| > 1$.

Como Greg Martin señaló, esta serie puede ser escrito como $$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^n + z^{-n}}$$ lo que muestra que su comportamiento debe ser el mismo para $|z| > 1$ o $|z| < 1$, de manera que obtenemos la convergencia en $\mathbb{C}\backslash\mathbb{S}^1$. El comportamiento de $|z| = 1$ parece más complicado, aunque, así que voy a dejar a alguien con más experiencia para contestar. Espero que esto ayude!

Answer 2

Los casos de $|z|\ne1$ haber sido eliminados, tenga en cuenta que cuando se $|z|=1$, el denominador es bordeada por encima (en valor absoluto) por 2, mientras que el numerador es (en valor absoluto) 1, por lo que el cociente es delimitada por debajo (en valor absoluto) por $1/2$. En particular, los términos no se va a cero, entonces la serie diverge.