PDE : Mezcla de Ola de Calor y ecuaciones

Question

Hoy me ha dado el siguiente ecuación : $$\frac{1}{c^2}u_{tt} + \frac{1}{D}u_t = u_{xx}$$ with initial conditions : $u(x,0) = 1$ if $|x|<L$ and $0$ otherwise, $u_t(x,0) = 0$. De manera bastante simple de las condiciones iniciales.

Puedo ver que hay un poco de onda y la ecuación del calor así que me resuelve cada caso, pero no podía "pegamento" de las respuestas juntos. Si $c$ se hace grande, entonces la ecuación se comportan como una ecuación del calor y del mismo modo, si $D$ es grande, entonces se comportará como una ecuación de onda.

Utilizando el análisis dimensional deduje que si $\frac{c^2}{LD}$ es el criterio para decir si $c$ $D$ son "grandes".

Sé que se puede resolver la ecuación mediante separación de variables, pero de lo que sería una manera de ser capaz de ver cómo la solución se comporta sin problemas? Como ser capaz de esbozar una solución para la variación de $t$ sería muy bueno.

Saludos

Answer 1

Una sustitución de la forma $u=e^{-at}v$ $a=c^2/(2D)$ transforma la ecuación en la ecuación del telégrafo $$\frac1{c^2}v_{tt}-v_{xx}=bv$$ with $b=a/(2D)$. La ecuación del telégrafo es un objeto de estudio de la ecuación.