Necesito demostrar que $f$ continua en $(x)=0$ utilizando un $\epsilon$-$\delta$ prueba

Question

Necesito demostrar que $f$ continua en $(x)=0$ utilizando un $\epsilon$-$\delta$ prueba $$ f(x, y) = \begin{cases} x^2sin(\frac1x),&x\neq 0 \\ 0,&x = 0 \end{casos} $$

Answer 1

Si $0<|x|<\delta$ $$|f(x)-f(0)| = |x^2 \sin(1/x)|\le|x|^2 < \delta^2$$ Así que para todos los $\epsilon>0$ podemos optar $\delta = \sqrt{\epsilon}$ ...

Answer 2

Sugerencia: Para $x\neq 0$, $$|f(x)-f(0)|=\left|x^2\cdot\sin\frac1x-0\right|=|x|^2\left|\sin\frac1x\right|\leq|x|^2=|x-0|^2.$$

Answer 3

Este post sólo pretende ser un complemento a las respuestas publicadas anteriormente.(De modo que el proceso se entiende).

Usted tiene que demostrar que el límite de la función cuando x tiende a cero es el mismo que el valor de la función a cero.

Aquí epsilon es el límite superior de la distancia entre un abitrary f(x) y y f(0). Y el delta es el límite superior de la distancia entre un arbitrario x y 0. Si usted puede probar que usted puede traer a f(x) tan cerca de f(0) como se desee, trayendo x tan cercano a cero, demostrar que el límite de la función cuando x tiende a cero existe.(Esto se puede hacer sin el epsilon - delta definición, mediante manipulación algebraica, pero no va a ser riguroso.Más rigurosamente, para cualquier epsilon, usted debería ser capaz de encontrar un delta - y para esto usted tiene que utilizar el epsilon-delta definición).

Tenga en cuenta que epsilon y delta son ambos mayores que cero, por lo que se excluye el caso de que f(x) = f(0) y el caso x = 0. Así que esto solo demuestra que el límite existe, nada dice sobre el comportamiento de la función en x= 0. Así que usted tiene que probar que el límite superior es igual al valor de f(x) en x = 0. Aquí, puesto que ya está dado que f(0) = 0, todo lo que tienes que hacer es hacer constar el hecho.(Prácticamente trivial, pero lógicamente paso importante).