Las estimaciones para la aproximación normal de la distribución binomial

Question

Estoy interesado en las estimaciones de la aproximación normal de la binomial distribuciones, es decir, en las estimaciones de

$$\sup_{x\in\mathbb R}\left|P\left(\frac{B(p,n)-np}{\sqrt{npq}} \le x\right) - \Phi(x)\right|$$

A partir de la Baya-Essen teorema puedo deducir

$$\sup_{x\in\mathbb R}\left|P\left(\frac{B(p,n)-np}{\sqrt{npq}} \le x\right) - \Phi(x)\right| \le \frac{C(p^2+q^2)}{\sqrt{npq}}$$

con $C \le 0.4748$.

Mi pregunta: ¿hay mejor estimaciones para la aproximación normal de la distribución binomial?

La Baya-Esseen teorema es bastante general, porque puede aplicarse a cada suma de (i).yo.d variables aleatorias. Así que supongo que hay mejores estimaciones para el caso especial de la distribución binomial...

Answer 1

No estoy seguro de si en realidad se puede esperar demasiado de una mejora aquí. En cierto sentido, la distribución binomial es en realidad un (cerca de) peor caso de Berry-Esseen.

Por la desigualdad de Chebyshev, un resultado positivo de la proporción de la masa de la distribución binomial se encuentra entre el$np-\sqrt{npq}$$np+\sqrt{npq}$. Junto con el principio del palomar, esto implica que un único valor en ese intervalo de tiempo se toma en con probabilidad proporcional al $\frac{1}{\sqrt{npq}}$ (hay mucho más precisa de los resultados de este; véase, por ejemplo, Steven Dunbar apuntes Locales Límite de Teoremas), lo que significa que la CDF de la distribución binomial tiene saltos de este tamaño.

Por otro lado, la distribución normal es continua. Así, por un lado o el otro de el salto, la aproximación de error debe ser de al menos $\frac{C'}{\sqrt{npq}}$, lo que coincide con el de la Baya-Esseen ligada a un factor constante ($p^2+q^2$ es siempre entre el$1/2$$1$).