La intuición de la dualidad de Poincaré y la Tapa del producto

Question

¿Me pueden brindar alguna intuición detrás de la Tapa del producto de un cohomology de clase y una homología de clase? ¿Cuál es su sentido geométrico? Puede que también me dará una intuición de por qué la dualidad de Poincaré es cierto?

Answer 1

No estoy seguro de que este es el sentido geométrico desea tener, pero es muy útil para mí para entender la dualidad de Poincaré: creo que el bebé de la versión de la dualidad de Poincaré es la dualidad del plano gráfico (o un gráfico incrustado en una general $2$-dimensiones de la superficie). Dado un plano de dibujo de $G$, entonces el grafo dual $G^*$ es un grafo que tiene un vértice por cada plano de la región de $G$, y un borde de cada borde en $G$ la unión de dos regiones vecinas, según grafo Dual. Por supuesto, el avión es $2$-dimensión. Por lo tanto, la cara en $G$, $2$- dimensional, corresponde a un vértice en $G*$, $2-2=0$- dimensional. Borde en $G$, $1$- dimensional, corresponde a un borde en $G*$, $2-1=1$- dimensional. Y el vértice en $G$, $0$- dimensional, corresponde a una cara en $G*$, $2-0=2$- dimensional. En el otro lado, $|V(G)|=|F(G^*)|$, $|E(G)|=|E(G^*)|$, y $|V(G^*)|=|F(G)|$, que es la dualidad de Poincaré.