La localización no conmutan canónicamente con infinidad de productos directos

Question

Deje $S=\mathbb{Z}-\{0\}$. Demostrar la existencia o inexistencia de isomorfismo entre el $S^{-1}\prod_{1}^{\infty}\mathbb{Z}_{i}$ $\prod_{1}^{\infty}\mathbb{Q}_{i}$ $\mathbb{Q}$- espacios vectoriales. (Aquí se $\mathbb Z_i=\mathbb Z$ $\mathbb Q_i=\mathbb Q$ todos los $i\ge 1$.)

Este es un ejemplo para mostrar que la localización no conmuta con infinita de productos en virtud de la natural (canónica) homomorphism. He leído esto de una conferencia nota de Ravi Vakil. Creo que todavía tenemos que mostrar estos dos no son isomorfos como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales. Yo traté de seguir la sugerencia de considerar el elemento $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...)$, pero fracasó.

A user26857: yo quiero una prueba de la existencia o inexistencia de isomorfismo entre estos dos espacios vectoriales. Si lo tengo a la derecha, su solución reducido el problema a la existencia de la base de estos dos espacios vectoriales. Y en su sentido, una base es un subconjunto $B$ (del espacio vectorial $V$) de forma tal que cada subconjunto finito de $B$ es un conjunto linealmente independiente y cualquier vector en $V$ puede ser expresada como una suma finita de los elementos en $B$. Si esto es lo que quieres decir, puedes mostrar la existencia de esa base? Gracias!

A Ragib Zaman: Su ejemplo es uno mejor. Gracias!

Answer 1

Ravi sugerencia es mostrar que $(1 \ , \ 1/2 \ , \ 1/3 \ , \ \ldots)$ no está en la imagen de la natural mapa, por lo que el natural mapa no es un isomorfismo. Como user26857 muestra, sin embargo, en este ejemplo los espacios vectoriales en realidad son isomorfos, pero no canónicamente.

Puede ser más satisfactorio ver el siguiente ejemplo:
Sacar el anillo de ser $R=\mathbb{Z},$ $S = \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$ y que los módulos se $M_i = \mathbb{Z}/(i) \ , \ i\geq 2.$ $S^{-1}M_i=0$ ya que para todas las $x\in M_i$ $s\in S$ tenemos $$ \frac{x}{s} = \frac{ix}{is} = \frac{0}{is} = \frac01.$$

Por otro lado, $S^{-1}\left(\prod_{i\ge2}M_i\right)$ es distinto de cero. Para ver esto, observe que si $\dfrac{(1,1,1,\ldots)}{1} =\dfrac01$ existe $s\in S$ tal que $s(1,1,1,\ldots)=0.$ Pero esto significaría que cada entero $i\geq 2$ divide $s,$ $s$ debe ser distinto de cero, así que esto es imposible.

Por lo que hemos encontrado un ejemplo en el que la localización no conmuta con una infinita directa del producto a través de cualquier mapa, no sólo el natural mapa.

Answer 2

Son isomorfos como $\mathbb Q$-espacios vectoriales, pero no canónicamente.

Deje $B\subset\mathbb Q^{\mathbb N}$$\mathbb Q$ -. A continuación,$|\mathbb Q^{\mathbb N}|=|B||\mathbb Q|$. En el otro lado, tenemos a $\mathbb Z^{\mathbb N}\subset S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}\subset\mathbb Q^{\mathbb N}$, lo $|\mathbb Z^{\mathbb N}|\le |S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}|\le|\mathbb Q^{\mathbb N}|$. Desde $|\mathbb Z^{\mathbb N}|=|\mathbb Q^{\mathbb N}|$ obtenemos $|S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}|=|\mathbb Q^{\mathbb N}|$. Si $B'\subset S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}$ $\mathbb Q$- base tenemos $|S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}|=|B'||\mathbb Q|$, y por lo tanto $|B|=|B'|$, lo $\mathbb Q^{\mathbb N}$ es isomorfo a $S^{-1}\mathbb Z^{\mathbb N}$ $\mathbb Q$- espacios vectoriales.

La canónica de morfismos envía $(k_n)_{n\ge 1}/s$$(k_n/s)_{n\ge 1}$. Si hay un elemento que es enviado a$(1/n)_{n\ge 1}$, $k_n/s=1/n$ todos los $n\ge 1$, $nk_n=s$ todos los $n\ge 1$ (o, si se quiere, $n\mid s$ todos los $n\ge 1$), una contradicción. Así, la canónica de morfismos es (inyectiva pero) no surjective.