¿Existe una función holomorfa tal que $|f(z)|\geq \frac{1}{\sqrt{|z|}}$ ?

Question

Tengo problemas para resolver este problema:

¿Existe una función holomorfa $f$ en $\mathbb C\setminus \{0\}$ tal que

$$|f(z)|\geq \frac{1}{\sqrt{|z|}}$$

para todos $z\in\mathbb C \setminus \{0\}$ ?

No sé por dónde empezar. Mi intuición es que usted conseguiría un problema con la singularidad cerca de $0$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Esta desigualdad garantiza que $f$ no tiene ceros, por lo que podemos invertir la desigualdad y encontrar

$$\left\lvert\frac{1}{f(z)}\right\rvert \leqslant \sqrt{\lvert z\rvert},$$

y que dice que $1/f$ tiene una singularidad extraíble (con valor $0$ ) en el origen, así, sin pérdida de generalidad, $g = 1/f$ es toda una función que crece como mucho tan rápido como $\sqrt{\lvert z\rvert}$ . Pero tal estimación obliga a $g$ sea constante, por lo que $g \equiv 0$ . Eso, por otra parte, significa $f \equiv \infty$ Así que $f$ no era una función analítica.

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Addendum: La integral de Cauchy para la derivada de $g$ produce, para $\lvert z\rvert \leqslant R$ :

$$\begin{align} \lvert g'(z)\rvert &= \left\lvert \frac{1}{2\pi i} \int_{\lvert\zeta\rvert = 2R} \frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta\right\rvert\\ &\leqslant \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\lvert g(2Re^{it})\rvert}{\lvert2Re^{it}-z\rvert^2}2R\,dt\\ &\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{2R\sqrt{2R}}{R^2}\,dt = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{R}}, \end{align}$$

y dejando $R \to \infty$ muestra $g' \equiv 0$ .

Del mismo modo, cuando $h$ es una función entera, y tienes una estimación $\lvert h(z)\rvert \leqslant c\cdot \lvert z\rvert^\alpha$ para todos $\lvert z\rvert \geqslant K$ la integral de Cauchy para la $n$ -ésima derivada de $h$ se obtiene una estimación $\lvert h^{(n)}(z)\rvert \leqslant C\cdot R^{\alpha - n}$ para todos $\lvert z\rvert \leqslant R/2$ donde la constante $C$ depende de $n$ pero no en $R$ y, por tanto $h^{(n)} \equiv 0$ si $n > \alpha$ es decir, si se dispone de tal estimación, entonces $h$ es un polinomio de grado $\leqslant \lfloor \alpha\rfloor$ .