Una serie doble rendimiento Riemann ' s $\zeta$

Question

Me puedes dar algunos consejos para probar la igualdad:

$$\sum_{m,n=1}^{\infty} \frac1{(m^2+n^2)^2} =\zeta (2)\ G\zeta(4)=\frac{\pi^2}{6}\ G\frac{\pi^4}{90}$$

donde $\zeta (t):= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^t}$ es la de Riemann zeta función y $G := \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} \approx 0.915 965 594$ es del catalán constante?

He probado con algunas de ingeniería inversa, pero yo no era capaz de resolver el problema en absoluto. Incluso una buena referencia puede ser útil.

Muchas gracias de antemano, chicos.

Answer 1

Este problema puede ser reformulada en términos de el famoso problema de que el número de maneras de representar un entero positivo, como una suma de cuadrados. Con esta perspectiva, podemos ver que la siguiente declaración más general, es cierto para cualquier $p > 1$ (de modo que cada una de las series infinitas en realidad converge): $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n^2)^p} + \sum_{m,n = 1}^{\infty} \frac{1}{(m^2+n^2)^p} = \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^p}\right).$$

El lado izquierdo es $$\sum_{s=1}^{\infty} \frac{n_2(s)}{s^p},$$ donde $n_2(s)$ es el número de maneras de representar la $s$ como la suma de uno o de los dos cuadrados de los enteros positivos, el orden en el que se distingue (es decir,, $1^2 + 2^2$ se cuenta por separado de $2^2+1^2$).

Se sabe que $n_2(s) = d_1(s) - d_3(s)$ (ver eq. 24 en el sitio enlazado más arriba), donde $d_k(s)$ es el número de divisores de $s$ congruente a $k \bmod 4$.

La primera suma en el lado derecho de la ecuación ($p$th poderes de) todos los enteros positivos como denominadores y la segunda suma de la derecha (el $p$th poderes de) todos los números impares como denominadores. Después de la multiplicación de esas sumas, entonces, $1/s^p$ (haciendo caso omiso de los signos) aparece a la derecha tantas veces como hay impar de divisores de $s$. Cada divisor impar de $s$ congruente a $1 \bmod 4$ contribuye a $+1/s^p$, y cada divisor impar de $s$ congruente congruente a $3 \bmod 4$ contribuye a $-1/s^p$. Por lo tanto el coeficiente de $1/s^p$ en el lado derecho es exactamente $d_1(s) - d_3(s) de dólares. Por lo tanto, el lado derecho es también $$\sum_{s=1}^{\infty} \frac{n_2(s)}{s^p}.$$

Answer 2

Para más detalles de la búsqueda para Dedekind zeta función (especialmente de los cuadrática campos) y de Dirichlet $L$de la serie.

Permítanos calcular la suma sobre todos los de $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ que $(m,n)\neq(0,0)$. Nos deja denotar la suma de $S$. Tenemos $(m^2+n^2)^2=|m+|^4$. Cada número $m+en\in\mathbb{Z}[i]$ se descompone de forma exclusiva en un producto de números primos en $\mathbb{Z}[i]$, hasta la multiplicación por $\pm1,\pm i$. Por tanto, tenemos $S=4\prod_\pi\frac{1}{1-|\pi|^{-4}}$, donde el producto se ejecuta sobre todos los números primos de $\mathbb{Z}[i]$ (4 proviene de $\pm1,\pm i$). Ahora $|\pi|^2$ es un primer $p$ (en $\mathbb{Z}$) $p\equiv 1 \bmod 4$ (nos sale $p$ dos veces, de $\pi$ y de $\bar\pi$) o (si $\pi=q\in\mathbb{Z}$) $|\pi|^2=p^2$, $q$ prime, $q\equiv 3 \bmod 4$, o $|\pi|^2=2$.

Por lo tanto, get ($p$ ejecuta a través de todos los números primos 1 mod 4, $q$ más de los números primos 3 mod 4) $$S=4\frac{1}{1-2^{-2}}\prod_p\frac{1}{(1-p^{-2})^2}\prod_q\frac{1}{1-p^{-4}}=$$ $$=4\frac{1}{1-2^{-2}}\prod_p\frac{1}{1-p^{-2}}\prod_q\frac{1}{1-p^{-2}}\times \prod_p\frac{1}{1-p^{-2}}\prod_q\frac{1}{1+q^{-2}}=4\zeta(2)\times G.$$ Su suma es $S/4-\zeta(4)$.