De Hardy–Littlewood-la desigualdad de Sobolev sin Marcinkiewicz interpolación?

Question

Aquí está la declaración de los Hardy–Littlewood–Sobolev teorema.

Vamos $0< \alpha< n$, $1 < p < q < \infty$ y $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n}$. Entonces: $$\left \| \int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(y)dy}{|x-y|^{n-\alpha} } \right\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}\leq C\left\| f\right\| _{L^p(\mathbb{R^n})}.$$

Conozco a dos pruebas de este teorema. La primera de ellas (creo que la estándar) utiliza el Marcinckiewicz teorema de interpolación.

El segundo utiliza el de Hardy–Littlewood máxima función y su acotamiento de$L^p(\mathbb{R}^n)$$L^p(\mathbb{R}^n)$. Para probar este acotamiento tengo la necesidad de Marcinkiewicz teorema de interpolación de nuevo. (Incluso si es suficiente la "diagonal" versión).

Mi pregunta es: ¿hay una prueba del teorema anterior, que no utiliza Marcinkiewicz? Es esta interpolación teorema necesario con el fin de demostrar HLS?

Answer 1

Existe una relación directa y auto-contenido de la prueba de HLS la desigualdad en el Análisis por Lieb y la Pérdida, el Teorema 4.3. No se utiliza nada pero layer cake de representación, Hölder la desigualdad, y la astuta manipulación de las integrales. Un poco demasiado largo para reproducir aquí, sin embargo.

También, el acotamiento de Hardy-Littlewood máximo de la función es mucho más sencillo que el general Marcinkiewicz teorema de interpolación; se presenta en los libros de texto como una consecuencia de este último sólo porque los autores gustaría ser uno de ellos. Stein demuestra como Teorema 1.1.1 en Singular integrales y la diferenciabilidad de las propiedades de las funciones. En primer lugar, la cobertura lema es utilizado para probar los débiles $(1,1)$ la desigualdad $$m(E_\alpha)\le C\alpha^{-1}\int_{\mathbb R^n} |f(x)|\,dx \tag{1}$$ donde $E_\alpha = \{x:Mf(x)>\alpha\}$.

Fix $\alpha$ y deje $f_1=f\chi_{|f|\ge \alpha/2}$. Desde $|f|\le f_1+\alpha/2$, se deduce que $$\{x:Mf(x)>\alpha\}\subset \{x:Mf_1(x)>\alpha/2\}$$ Se aplican $(1)$ y el uso de la layercake representación de $\int (Mf)^p$: $$\int_{\mathbb R^n} (Mf(x))^p\,dx = p\int_0^\infty \alpha^{p-1} m(E_\alpha)\,d\alpha \le p \int_0^\infty \alpha^{p-1} \frac{C}{\alpha}\left( \int_{|f|>\alpha/2}|f(x)|\,dx\right)\,d\alpha$$ Cambiar el orden de integración de la derecha para obtener $$C p \int_{\mathbb R^n}|f(x)|\,dx \int_0^{2|f(x)|} \alpha^{p-2} \,d\alpha = C'\int_{\mathbb R^n}|f(x)|^p\,dx$$ como se desee.

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Y ahora que he escrito todo esto, veo que el artículo de la Wikipedia de Hardy–Littlewood máxima función también le da a esta prueba.

Answer 2

Se puede demostrar que el caso unidimensional, sin el uso de Marcinkiewicz teorema de interpolación? Si su respuesta es si, continuar por la inducción de la combinación de Hölder, Jóvenes y Minkowski las desigualdades con la identidad

$$\int_{\mathbb{R}^{n-1}}\frac{dy_1\cdots dy_{n-1}}{|x-y|}=\frac{c_n}{|x_n-y_n|}$$

donde $c_n$ es una constante que sólo depende de n.