También hay una prueba muy bonita utilizando lo que se llama reductio ad absurdum (o regresión infinita), que también se puede enmarcar como una simple contradicción utilizando la propiedad de minimidad de los números naturales.
Supongamos que WLOG ( sin pérdida de generalidad ) que $$\sqrt3=\frac{u}{v}$$ para $u,v\in\mathbb{N}$ relativamente primo (cualquier número racional positivo en $\mathbb{Q}$ puede expresarse como una fracción en condiciones más bajas ). La razón por la que podemos asumir $u,v\in\mathbb{N}$ en lugar de $\mathbb{Z}$ sin perder la generalidad de nuestro argumento es porque cualquier caso de la segunda categoría proporciona uno de la primera al observar que $3>0$ para que $u$ y $v$ deben tener el mismo signo, y si son negativos, entonces $-u,-v\in\mathbb{N}$ también tiene la misma proporción. Así que entonces $$u^2=3\,v^2.$$ Pero $3$ es primo y divide el lado derecho, por lo que divide el lado izquierdo, y eso significa que debe dividir $u$ (es un hecho, conocido como El lema de Euclides que si $p$ es primo, entonces $p|ab \implies p|a$ o $p|b$ ). Pero entonces $3|u=u_0$ significa que $u=3u_1$ para algunos $u_1\in\mathbb{N}$ y en consecuencia, $$9u_1^2=(3u_1)^2=3v^2 \quad\implies\quad 3u_1^2=v^2.$$ En este punto, si no hemos asumido que $u,v$ son relativamente primos, continuamos observando que $v=v_0=3v_1$ para algunos $v_1\in\mathbb{N}$ De ahí que $u_1^2=3v_1^2$ $\implies\cdots\implies$ $$\forall n\in\mathbb{N}:u_n=u\cdot3^{-n},~v_n=v\cdot3^{-n}\in\mathbb{N}$$ que es un imposible regresión infinita , también llamado _reductio ad absurdum_ (reducción al absurdo). El absurdo, la imposibilidad o la contradicción a la que conduce es que, a partir de la hipótesis, muestra que los números naturales $u$ y $v$ son infinitamente divisibles, mientras que sabemos que para algunos $N\in\mathbb{N}$ (eventualmente, lo suficientemente grande), $\frac{u}{3^n}$ y $\frac{v}{3^n}$ son obviamente menores que $1$ y por lo tanto no son números enteros para todos $n\ge N$ .
Una variación más elegante (que evita esta "gimnasia infinita") es utilizar la estipulación, que podemos hacer sin pérdida de generalidad, de que $u$ y $v$ son relativamente primera . Entonces, podemos detenernos en cuanto deducimos que $3|v$ ya que en este punto ya sabíamos que $3|u$ .
Una variación aún más elegante utiliza el bienestar de $\mathbb{N}$ donde también suponemos para empezar que $u$ y $v$ son mínimas (o si tenemos dudas sobre si podemos exigir esto simultáneamente a ambas variables, supongamos que cualquiera de ellas $u$ o $v$ es mínimo). Entonces, en cuanto descubramos nuestro primer factor extra de $3$ , ya llegamos a una contradicción.
