Resolver en los enteros positivos $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=9$

Question

Resolver en los enteros positivos $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=9$
Por la inspección vemos a $x=4$ $y=2$ es una solución. Pero hay más soluciones? He tratado de convertir la ecuación en la desigualdad al CS pero no me lleva a ninguna parte. He probado la relación de orden $x \geq y$, pero luego se está convirtiendo $\frac{2y^{2}}{x} \leq 9 $ y estoy atascado en este punto cómo proceder.

Answer 1

Por AM-GM, $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq 2\sqrt{xy}$, por lo tanto $xy$ es en la mayoría de las $20$.

Por otra parte, la ecuación original es equivalente a: $$ (x+y)(x^2-xy+y^2) = 9xy, $$ pero $x^2-xy+y^2\geq xy$, por lo tanto $x+y$ es en la mayoría de las $9$. Así que tenemos que revisar muy pocos casos para asegurarse de que las únicas soluciones en $\mathbb{N}^2$ son los triviales.

Answer 2

He aquí una sencilla prueba basada en consideraciones de divisibilidad.

Vamos $x=ad$, $y=bd$ con $\gcd(a,b)=1$. La ecuación se convierte en $(a^3+b^3)d=9ab$, lo que implica $a$ $b$ individualmente dividen $d$. Desde $a$ $b$ son relativamente primos, debemos tener $d=ab\delta$, por lo tanto $9=(a^3+b^3)\delta$. Es claro que $a$ $b$ no puede ser ambos impares, por lo que es fácil ver que sólo podemos tener $\{a,b\}=\{1,2\}$,$\delta=1$. Así que el único que las soluciones provienen de $\{x,y\}=\{2,4\}$.