Hacia el exterior de Flujo de un Divergenceless Campo de Vectores en un Elipsoide

Question

tl;dr: ¿Cómo evalúa $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ donde $\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\langle x,y,z\rangle$ $\mathbf{S}$ es la orientada hacia el exterior de la superficie dada por $9x^2+4y^2+16z^2=144$?

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Largo de la historia: Mi cálculo multivariable maestro recientemente dio a nuestra clase el siguiente problema:

Calcular el flujo hacia el exterior $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ donde $$\mathbf{F}(x,y,z)=(y + \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\mathbf{i} + (x + \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\mathbf{j} + (z + \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\mathbf{k} $$ y $S$ es la superficie del elipsoide dado por $9x^2+4y^2+16z^2=144$.

La solución que él nos dio corrió a lo largo de las siguientes líneas:

Deje $\mathbf{F} = \mathbf{F_1} + \mathbf{F_2}$ donde $$\mathbf{F_1} = \langle y,x,z\rangle;\; \mathbf{F_2} = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\langle x,y,z\rangle$$

lo que nos da $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F_1} \cdot d\mathbf{S} + \iint_S \mathbf{F_2} \cdot d\mathbf{S} $.

Aplicando el teorema de la divergencia esférica y parametrización, podemos encontrar que $\iint_S \mathbf{F_1} \cdot d\mathbf{S} = 96\pi$. Esto tenía sentido para mí; yo no tenía ningún problema con la comprensión de la transformación y la evaluación de las integrales.

Después de eso, sin embargo, me he perdido. Según mis notas, habló de cómo puede transponer $\iint_S \mathbf{F_2} \cdot d\mathbf{S}$ en una unidad de la esfera debido a $\mathbf{F_2}$ es divergenceless, y, como consecuencia, es igual a la integral de superficie de la unidad de la esfera, produciendo $\iint_S \mathbf{F_2} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi$.

Para ello se plantearon dos preguntas: en primer lugar, por supuesto, era ¿qué diablos hizo mi maestro acaba de hacer? Segundo fue: ¿qué hay de malo con $\iint_S \mathbf{F_2} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf{F_2}\,dV = \iiint_E{0}\,dV = 0$ (donde $E$ es la región encerrada por la superficie de $S$)? Un amigo le dijo que tenía que ver con el hecho de que $\mathbf{F_2}$ no está definido en $(0,0,0)$, pero todavía estoy confundido.

Sería genial si alguien me explicara cómo evaluar el flujo hacia el exterior de $\mathbf{F_2}$$S$.

Gracias.

Answer 1

Tu amigo tiene razón. No se puede aplicar el teorema de la divergencia directamente porque los su $F$ no está definido en el origen.

Pero usted puede aplicar el teorema de la divergencia para calcular una modificación de flujo

$$\int_S F\cdot dS - \int_T F\cdot dT$$

donde $T$ es la unidad de la esfera. Observe que las superficies de $S$ $T$ encerrar un "huevo" en forma de volumen $V$ que no contenga $F$'s de la singularidad en el origen. Por lo tanto

$$\int_S F\cdot dS - \int_T F\cdot dT = \int_V \nabla\cdot F dV = 0,$$ y el flujo a través de $T$ es mucho más fácil de calcular que más de $S$: $F\cdot dT = 1$ y por lo que el flujo es simplemente el área de la superficie de la unidad de la esfera, $4\pi$.

Observe que no hay nada especial acerca de la unidad de la esfera en el argumento anterior: podríamos haber utilizado una esfera de cualquier radio $r$ (o cualquier otra superficie que encierra el origen, pero esferas son fáciles de calcular), y es digno de la comprobación de que la respuesta no depende de la $r$. Usando coordenadas esféricas, $$\int_T F\cdot dT = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(\frac{r}{r^3}\right)\,r^2\sin\theta\,d\theta d\phi = -2\pi \cos\phi\Big\vert_{0}^{\pi}=4\pi.$$