Encontré algo muy interesante, mientras que la navegación alrededor de la OEIS ayer. No tengo idea de cómo probar esto (ni siquiera sé si es cierto en general, pero Mathematica me dice que tiene, al menos, el 50 000.) Podemos demostrar que esta secuencia, que es $$ \text{A095112}(n) = \sum_{\substack{p \text{ prime, } k>0 \\ p^k \a mediados n}} \frac{n}{p^k} \quad \desbordado{\underset{\mathrm{?}}{}}{=} \quad \sum_{d \mediados n} \varphi(d) \Omega \left( \frac{n}{d} \right), $$ donde la suma doble a la izquierda es "la suma de $n/k$ durante todo el primer potencias $k>1$, que se dividen $n$". Sobre el derecho de las $\varphi(n)$ denota Euler totient función y $\Omega(n)$ total número de factores primos de a $n$. Buscando en un ejemplo podemos ver que $$ \sum_{\substack{p \text{ prime, } k>0 \\ p^k \mid 12}} \frac{12}{p^k} = \frac{12}{2} + \frac{12}{2^2} + \frac{12}{3} = 6 + 3 + 4 = 13, $$ y $$ \begin{align*} \sum_{d \mid 12} \varphi(d) \Omega \left( \frac{12}{d} \right) &= \varphi(1)(3)+\varphi(2)(2)+\varphi(3)(2)+\varphi(4)(1)+\varphi(6)(1)+\varphi(12)(0) \\\ &= 3+2+4+2+2=13. \end{align*} $$ ¿Cómo podemos atacar un problema como este? Es obvio o duro? Cualquier luz sobre este sería agradable!
Respuestas
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La clave aquí es la fórmula $$ \sum_{d | n} \varphi(d) = n. $$ Tenga en cuenta que $\Omega(n/d)$ cuenta el número de no-trivial primer potencias $p^k$ dividiendo $n/d$. Deje $p^k|n$ donde $k > 0$. Cuántas veces es $p^k$ contado en el lado derecho? Se cuenta $\varphi(d)$ a veces siempre $p^k|n/d$, es decir, siempre que $d|n/p^k$, y en total $$ \sum_{d | n/p^k} \varphi(d) = \frac{n}{p^k} \text{ times}. $$ La identidad sigue inmediatamente.
Para responder a su segunda pregunta, ¿cómo podemos atacar un problema como este, que me sugieren tratando de entender lo que los dos lados están contando. Mi solución (que es idéntica a la de Eric) se inicia con una comprensión de la mano derecha y, a continuación, utiliza una conocida fórmula para relacionarse con la mano izquierda. Entonces, la segunda sugerencia es: encontrar alguna información básica sobre las funciones implicadas.
La identidad es verdadera. He aquí una prueba:
Deje $*$ el valor de Dirichlet de convolución, que es $(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$. A continuación, vamos a $\chi$ ser la función del indicador para el primer poderes, que es $\chi(n)=1$ si $n=p^k$ $\chi(n)=0$ lo contrario. Observe que, en particular, $$(\chi*1)=\sum_{d|n}\chi(d) =\Omega(n).$$
Recordemos que $(\phi*1)(n)=\sum_{d|n}\phi(d)=n$. Por lo tanto, podemos escribir la $$\sum_{p^k |n} \frac{n}{p^k}=\sum_{d|n} \chi(d)\frac{n}{d}=(\text{Id}*\chi)(n)=(\phi*1*\chi)(n)$$
$$=(\phi*\Omega)(n)=\sum_{d|n}\phi(d)\Omega\left(\frac{n}{d}\right)$$ como se desee.
Similar a prueba con el indicador de la función de los números primos en lugar de primer poderes de los rendimientos
$$\sum_{p|n} \frac{n}{p} =\sum_{d|n}\phi(d)\omega\left(\frac{n}{d}\right).$$
