Resultado del producto $0.9 \times 0.99 \times 0.999 \times ...$

Question

Mi pregunta tiene dos partes:

1. ¿Cómo puedo definir bien la secuencia infinita $0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ \dots$ ? Una opción sería la definición recursiva de abajo; ¿hay una forma más agradable de hacerlo? Tal vez ponerlo en una forma que haga que la segunda pregunta sea más fácil de responder. $$s_{i+1} = s_i + 9\cdot10^{-i-2},\ s_0 = 0.9$$ Editar: Sugerencia: por Kirthi Raman : $$(s_i)_{i\ge1} = 1 - 10^{-i}$$

2. Una vez que tengo la secuencia, ¿cuál sería el límite del producto infinito de abajo? Me parece interesante la pregunta ya que $0.999... = 1$ Así que el producto debería converger (creo), pero ¿a qué? ¿Cuál es el "último número" antes de $1$ (ya sé que no existe) que contribuya al producto? $$\prod_{i=1}^{\infty} s_i$$

Answer 1

Para profundizar y ampliar la respuesta de GEdgar: existe lo que se llama el $q$ -Símbolo del martillo neumático

$$(a;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)$$

y $(a;q)_\infty$ se interpreta directamente. El producto que le interesa es equivalente a $\left(\frac1{10};\frac1{10}\right)_\infty\approx0.8900100999989990000001$ .

También se puede expresar el $q$ -Símbolo del martillo neumático $(q;q)_\infty$ en términos de Dedekind $\eta$ función $\eta(\tau)$ o el Jacobi $\vartheta$ función $\vartheta_2(z,q)$ En particular, tenemos

$$\left(\frac1{10};\frac1{10}\right)_\infty=\sqrt[24]{10}\eta\left(\frac{i\log\,10}{2\pi}\right)=\frac{\sqrt[24]{10}}{\sqrt 3}\vartheta_2\left(\frac{\pi}{6},\frac1{\sqrt[6]{10}}\right)$$

---

También podría... hay lo siguiente identidad, debida a Euler (el teorema del número pentagonal ):

$$(q;q)_\infty=\prod_{j=1}^\infty(1-q^j)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k q^\frac{k(3k-1)}{2}$$

que, entre otras cosas, le ofrece una serie que puede utilizar para estimar rápidamente su producto fino:

$$\left(\frac1{10};\frac1{10}\right)_\infty=1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\left(10^{-\frac{k}{2}(3k+1)}+10^{-\frac{k}{2}(3k-1)}\right)$$

Tres términos de esta serie dan una aproximación de veinte dígitos; cinco términos de esta serie dan una aproximación de cincuenta dígitos.

Answer 2

Mirando la representación decimal, parece que:

$$ \prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac1{10^i}\right)= \sum_{i=1}^\infty \frac{8 + \frac{10^{2^i-1}-1}{10^{2i-1}} + \frac1{10^{6i-2}} + \frac{10^{4i}-1}{10^{12i-2}} }{10^{(2i-1)(3i-2)}} $$

No tengo una prueba, pero el patrón es tan regular que estoy seguro.

Answer 3

Ver: "Función Dedekind eta" .