Encontrar todos los grupos con $\text{Aut}(G)=\{1\}$

Question

Posible duplicado:
$|G|>2$ implica $G$ tiene un automorfismo no trivial

Estoy haciendo este ejercicio:

Buscar todos los grupos $G$ con $\text{Aut}(G)=\{1\}$ .

Lo que me ha quedado claro es que el grupo $G$ debe ser un grupo abeliano. Porque tendremos $G=Z(G)$ y veo que al menos todos $\phi_g(x)=g^{-1}xg$ son sólo identidad. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Todos los automorfismos internos de $G$ son triviales, por lo que $G$ es abeliana.

Pero para un grupo abeliano $G$ el mapa $g\mapsto g^{-1}$ es un automorfismo. Así que este debe ser el mapa de identidad, es decir, cada elemento no identitario tiene orden $2$ .

En otras palabras, $G$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Las técnicas estándar del álgebra lineal demuestran que cualquier espacio de dimensión al menos $2$ tiene un automorfismo no trivial. Así, $G$ debe tener dimensión $0$ o $1$ es decir $G$ es el grupo trivial o cíclico de orden $2$ .