¿Qué es un ejemplo de espacio de no tener la homotopy tipo de un CW-complejo? ¿Hay algún método general que pueda demostrar que el espacio no tiene la homotopy tipo de un CW-complejo?
(añadido) Que sería más interesante si uno puede sugerir la conexión de un ejemplo.
Ya que ahora están pidiendo para la conexión de un ejemplo, aquí es una justificación para Harry ejemplo:
Lema. El Hawaiano pendiente $H$ no es homotopy-equivalente a cualquier CW-complejo de $X$.
Prueba. Supongamos por el contrario, $f: H\to X$ es un homotopy-equivalencia. Desde $H$ es compacto, por lo que es $f(H)$. Por lo tanto, $f(H)$ está contenida en un número finito de subcomplejo $Y$$X$. En particular, el subgrupo $f_*(\pi_1(H))< \pi_1(X)$ está contenida en un finitely generado subgrupo (la imagen de $\pi_1(Y)$ bajo el mapa de $\pi_1(Y)\to \pi_1(X)$) y, por lo tanto, es en la mayoría de los contables. Sin embargo, $\pi_1(H)$ es conocido por ser innumerables, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Hawaiian_earring. Por lo tanto, $f$ no inducir a un monomorphism fundamentales de los grupos y, por lo tanto, no puede ser un homotopy-equivalencia. qed
Ejemplo. Local contractibilidad no se conserva por homotopy de equivalencia. Considerar un subconjunto compacto $C$ $R^2$ que es la unión de countably muchos de la unidad de segmentos de $[0z_n], n\in {\mathbb N}$, en el avión, todos los cuales tienen el origen $0\in R^2$ como un punto final. A continuación, $C$ no está conectado localmente en cualquier punto de acumulación $z\in C$ del conjunto de $Z=\{z_n: n\in {\mathbb N}\}$. Por otro lado, el conjunto de $C$ es claramente contráctiles (como cualquier estrellas subconjunto del plano Euclidiano). Por lo tanto, $C$ es homotopy-equivalente al punto y punto es, por supuesto, a nivel local contráctiles.
En particular, Harry razonamiento es insuficiente para demostrar que $H$ no es homotopy-equivalente a un CW complejo.
El Hawaiano pendiente no tiene la homotopy tipo de un CW-complejo. No estoy seguro de cualquier completamente método general para la determinación de un espacio en el que se homotopy tipo de un CW-complejo.
Edit: El Hawaiano pendiente de no tener la homotopy tipo de un CW-complejo proviene de que no se localmente contráctiles, que cada CW-complejo debe ser. Para demostrar que no es localmente contráctiles, considere la posibilidad de abrir un barrio de origen y observar que cualquier barrio contendrá todos, pero un número finito de círculos. Este es homeomórficos a la totalidad de la pendiente, que no es contráctiles.
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