La respuesta de John es buena, solo quería agregar algunas ecuaciones y pensamientos adicionales. Comencemos aquí:
El calentamiento es realmente significativo solo cuando se produce una onda de choque, es decir, por encima de la velocidad del sonido.
La pregunta específicamente habla sobre un aumento de temperatura de $200^{\circ} C$ en la atmósfera. Esto califica como un calentamiento "significativo", y la hipótesis de que esto solo sucedería a velocidades supersónicas es válida, lo mostraré a continuación.
Cuando algo se mueve a través de un fluido, se produce calentamiento tanto del objeto como del aire. Trivialmente, el calentamiento neto total es de $F d$, la fuerza de arrastre multiplicada por la distancia recorrida. El problema es que no sabemos cómo se distribuye entre el objeto y el aire. Esta dicotomía es bastante extraña, considerando que en el movimiento en estado estacionario todo el calentamiento va hacia el aire. El objeto se calentará y, si continúa moviéndose a la misma velocidad (cayendo a velocidad terminal, por ejemplo), se enfría por el aire exactamente la misma cantidad que se calienta por el aire.
Cuando consideramos los mecanismos exactos de calentamiento, hay calentamiento por fricción en la capa límite en la superficie del objeto y hay pérdidas de eddies que se disipan finalmente por calentamiento viscoso. Después de pensarlo, debo admitir que pienso que la sugerencia de John es la más convincente: que la compresión del aire en sí misma es lo que más importa. Dado que se especifica una bola de $1 m$ en aire, esto debería dar un número de Reynolds bastante alto, y la fricción en la piel no debería importar tanto como el calentamiento debido a la estanción en el borde frontal.
Ahora, la cantidad exacta de aumento de presión en el punto de estancación puede que no sea exactamente $1/2 \rho v^2$, pero está cerca de eso. Cálculos detallados para el arrastre deberían dar un número preciso, pero no tengo esos, así que utilizaré esa expresión. Tenemos aire, a $1 atm$, con el supuesto previo de que el tamaño de la esfera no importa, diré que el aire ambiente está a $293 K$ y la densidad es de $1.3 kg/m^3$. Debemos ver esto como una compresión adiabática de un gas diatómico, lo que nos da:
$$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$$
Los gases diatómicos tienen:
$$\gamma=\frac{7}{5}$$
Emplear la expresión de presión de estancamiento para obtener:
$$\frac{P_2}{P_1} = \frac{P1+\frac{1}{2} \rho v^2}{P1} = 1+\frac{1}{2} \rho v^2 / P1 $$
Uniendo todo esto obtenemos:
$$\frac{T_2}{T_1} = \left( 1+\frac{1}{2} \rho v^2 / P1 \right)^{2/7}$$
Ahora, nuestra condición es que $T2/T1\approx (293+200)/293 \approx 1.7$. Llego a esta expresión anteriormente al introducir una velocidad de aproximadamente $2000 mph$. En ese punto, sin embargo, podría haber más física complicada debido al flujo supersónico. Para profundizar, el proceso de compresión a velocidades supersónicas podría disipar más energía que una compresión adiabática ideal. No soy un experto en flujos supersónicos, y se podría decir que los cálculos aquí asumieron flujo subsónico, y el resultado ilustra que esa no es una suposición razonable.
adicional:
El Concorde podría volar a aproximadamente Mach 2. La temperatura ambiente es mucho más baja que la temperatura ambiente de una habitación, pero el calentamiento en comparación con el ambiente era de unos $182 K$ en la piel y $153 K$ en la nariz. Esto es interesante porque señala que la fricción en la capa límite de la piel juega un papel más importante de lo que sospechaba, pero también está envuelto en la física de la onda de choque sónica, la cual no he estudiado particularmente.
Tienes que preguntarte, ¿a qué presión está la nariz y a qué presión está la piel? El flujo se separa (pasando por debajo o por encima de la nave) en algún punto, y ese debería ser el punto de presión más alta, pero tal vez no sea el de mayor temperatura, y realmente no puedo explicar por qué. Hemos llegado prácticamente al límite de los cálculos aproximados.
(nota: Me equivoqué en el valor de $\gamma$ al principio y luego lo cambié después de un comentario. Esto hizo que el valor pasara de 1000 mph a 2000 mph. Esto en realidad es mucho más consistente con el ejemplo del Concorde, ya que obtiene un calentamiento de <200 K a Mach 2).
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"...La fricción del aire enfría un objeto..." No. La fricción del aire no hace eso. Un objeto caliente puede transferir calor al aire por conducción (el objeto toca el aire), y por convección (a medida que el aire caliente sube, el aire frío ocupa su lugar), y probablemente también por radiación. Solo que no estoy seguro acerca de esto último. El objeto ciertamente perderá calor por radiación, pero no sé qué longitudes de onda absorberá el aire.