Es $\sqrt{\cos^2(x)} = |\cos x|$ ?

Question

Estoy tomando la raíz principal de $\cos^2(x)$ así que pensé que sería, pero cuando le preguntas a wolfram alpha dice que sólo a veces es cierto, cuando $x > 0$ (véase aquí ). ¿Puede alguien explicarme a qué se debe esto y darme un valor de $x$ ¿para qué no es cierto? Sólo soy un $11$ de trigonometría, así que probablemente no lo entenderé si lo haces demasiado complejo. Gracias, gracias. Lo siento si la etiqueta está apagada.

Answer 1

La declaración $\sqrt{\cos^2(x)}=|\cos(x)|$ es cierto para todos los $x$ . Wolfram|Alpha, por otro lado, tiene el hábito, a menudo molesto, de considerar todos los números complejos por defecto. Así, no está dispuesto a aplicar la identidad $$\sqrt{x^2}=|x|$$ a menos que sepa que $x$ es real. Dado que $\cos(x)$ es real para todos los reales $x$ la identidad que citas es cierta para cualquier $x$ - que es de lo único que debes preocuparte. WolframAlpha incluso, un poco más abajo en la página en una sección llamada "Soluciones Reales" escribe $\operatorname{Im}(x)=0$ que dice que si $x$ no tiene parte imaginaria (es decir, es un número real) entonces satisface la ecuación.

El principal problema en el plano complejo es que, aunque en general es cierto que $\sqrt{x^2}=\pm x$ es posible que (por ejemplo, para $x=i$ donde $i$ es la unidad imaginaria, $\sqrt{-1}$ ) tampoco $x$ ni $-x$ es un real positivo, mientras que $|x|$ es siempre un real positivo. Por lo tanto, $\sqrt{x^2}=|x|$ no se cumple en ninguna parte excepto en la recta real, lo que significa que casi cualquier número complejo (en particular cualquier número $a+bi$ donde $b$ no es cero y $a$ no es múltiplo de $\pi$ ) no satisface la identidad original con el coseno.

(Pero de verdad, si estás en clase de trigonometría, no te preocupes por nada de esto. Esto tiene muy poco que ver con la trigonometría. La verdadera moraleja de la historia es posiblemente que Wolfram|Alpha puede decir cosas inútiles y confusas, aunque técnicamente verdadero)

Answer 2

Quieres leer la forma alternativa asumiendo $x$ es real. (El de $x>0$ es una pista falsa, sólo se ha escrito ahí por si era eso lo que un usuario quería saber). Si $x$ no es real sino compleja, entonces la raíz cuadrada es un animal más complicado (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root para más información).