Ocupación de plazas en un salón de clases

Question

Aquí tienes una buena probabilidad de puzzle he pensado para una clase estoy TAing, tengo curiosidad por ver las diferentes soluciones :) va como esto:

Tenemos un aula con $n$ de los asientos disponibles y $m \leq n$ de los estudiantes entrantes. Cada estudiante tiene un (ordenada) de la lista de $k \leq n$ de las preferencias para el asiento que va a tomar, donde $k$ es algún entero positivo fijo. Si en el momento de su llegada, una persona $k$ favorito de los asientos ya están tomadas, a continuación, se elige aleatoriamente un asiento desde el restante $n-k$. ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno ocupa uno de sus favoritos $k$ asientos?

Answer 1

Los estudiantes numeradas $1$ $k$siempre obtendrá un asiento entre sus preferencias.

Para un estudiante número$s$$s>k$, la probabilidad de que todos los $k$ de sus asientos preferidos son tomadas es $\binom k {s-1}/\binom k n$. Debido a que las listas de los siguientes alumnos son al azar, no importa qué asiento es tomado, así que el orden en la lista no importa en absoluto. El problema es el mismo si recogemos los conjuntos de tamaño $k$.

Así que la probabilidad de que cada estudiante se sienta en un asiento preferido es $\prod_{s=k+1}^m \left(1 - \frac{(s-1)!(n-k)!}{(s-k-1)!n!}\right)$