Encontrar todos los polinomios $p(x)$ que satisfacer $\sin( p(x) ) = p( \sin(x) )$

Question

Encontrar todos los polinomios $p(x)$ que satisfacer $\sin( p(x) ) = p( \sin(x) )$ y demostrar que son, de hecho, todos.

Hay una manera fácil de demostrar esto?

Answer 1

Sugerencia:

• $p(\sin(x))$ es periódica.

Espero que esta ayuda ;-)

Answer 2

Sugerencia: Hemos \begin{align*} &\sin(p(x)) = p(\sin(x)),\tag{1}\\ &p'(x) \cos(p(x)) = p'(\sin(x)) \cos(x),\tag{2}\\ &|p'(2k\pi) \cos(p(2k\pi))| = |p'(0)|\tag{3} \end{align*} para cada entero $k$. Por $(1)$, $\sin(p(2k\pi)) = p(\sin(2k\pi)) = p(0)$. Por lo tanto $(3)$ da $$ |p'(2k\pi)| \sqrt{1 - p(0)^2} = |p'(0)|.\la etiqueta{4} $$ Argumentan que $p(0)\neq\pm1$. Por lo tanto $|p'(2k\pi)|$ es una constante para cada entero $k$. Inferir que el $p(x)$ es afín, es decir,$p(x)=ax+b$. Ahora, muestran que $b=0$$a\in\{-1,0,1\}$.