Subgrupo de conmutadores - ¿o?

Question

Si $G$ es un grupo y $X, Y \subseteq G$ entonces el subgrupo conmutador de $G$ se define como $[G, G] = \langle [x, y] \mid x, y\in G \rangle$ , donde $[x, y] = x^{-1}y^{-1}xy$ y el grupo generado por los elementos conmutadores de $X$ y $Y$ es $[X, Y] = \langle [x, y] \mid x\in X, y\in Y\rangle$ .

Ahora estoy leyendo un artículo donde el autor habla de $[\alpha, A]$ donde $\alpha$ es un automorfismo del grupo $A$ . ¿Qué significa esto? ¿Está relacionado con el grupo conmutador? El autor no lo define, así que supongo que es ampliamente conocido lo que se supone que significa, pero no lo he visto antes y no he tenido suerte buscando en mis libros o en Google.

Answer 1

$[\alpha,A]$ significa el subgrupo $\langle \alpha(a^{-1})a \mid a \in A \rangle$ de $A$ .

La conexión con los subgrupos conmutadores es que $[\alpha,A]$ es igual al subgrupo $[\langle \alpha \rangle, A]$ de la semidirecta $A \rtimes \langle \alpha \rangle$ porque, en el producto semidirecto $\alpha^{-1} a \alpha$ es igual a $\alpha(a)$ .