Otro hermoso arctan integral de la $\int_{1/2}^1 \frac{\arctan\left(\frac{1-x^2}{7 x^2+10x+7}\right)}{1-x^2} \, dx$

Question

¿Crees que podemos expresar de la forma cerrada de la integral de abajo en un muy agradable y corto camino?
Como usted ya sabe, su opinión pesa mucho para mí, así yo los necesito!

Calcular en forma cerrada

$$\int_{1/2}^1 \frac{\arctan\left(\frac{1-x^2}{7 x^2+10x+7}\right)}{1-x^2} \, dx.$$

Estoy mirando adelante a sus comentarios!

Mathematica nos dice que la forma cerrada es

$$\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{5}+\frac{2 i}{5}\right)+\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{2}{15}+\frac{2 i}{5}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{5}-\frac{2 i}{5}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{2}{15}-\frac{2 i}{5}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{8}\right)+\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{4}-\frac{i}{8}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{10}+\frac{3 i}{10}\right)+\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{10}-\frac{3 i}{10}\right)+\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{12}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{1}{4}-\frac{i}{12}\right)-\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{4}{15}+\frac{8 i}{15}\right)+\frac{1}{4} i \text{Li}_2\left(\frac{4}{15}-\frac{8 i}{15}\right)+\frac{1}{4} \log (4) \tan ^{-1}(6)-\frac{1}{4} \log (4) \tan ^{-1}(9)+\frac{1}{4} \log (4) \tan ^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{4} \log (4) \tan ^{-1}\left(\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{4} \log (9) \tan ^{-1}(2)+\frac{1}{4} \log (9) \tan ^{-1}(3)-\frac{1}{4} \log (9) \tan ^{-1}(6)+\frac{1}{4} \log (9) \tan ^{-1}(9)-\frac{1}{4} \log (9) \tan ^{-1}\left(\frac{3}{55}\right)+\frac{1}{4} \log (16) \tan ^{-1}(2)-\frac{1}{4} \log (16) \tan ^{-1}(3).$$

Answer 1

Sustituyendo $x\to\frac{1-x}{1+x}$ es generalmente una primera reacción de la mina. Aquí funciona sorprendentemente bien: la integral es equivalente a $$I=\int_{1/2}^1 \frac{\tan^{-1}\left(\frac{1-x^2}{7 x^2+10x+7}\right)}{1-x^2} \, dx=\frac12\int_0^{\frac13}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+6}\right)}{x} dx.$$

La integración por partes, $$I=-\frac12\ln3 \tan^{-1}\left(\frac{3}{55}\right)-\frac12\int_0^{\frac13} \frac{6-x^2}{x^4+13x^2+36}\,\ln x \, dx$$

Esto parece manejable. Podemos descomponer $\displaystyle \, \frac{6-x^2}{x^4+13x^2+36}=\frac{2}{x^2+4}-\frac{3}{x^2+9} $

así que $$\int_0^{\frac13} \frac{6-x^2}{x^4+13x^2+36}\,\ln x \, dx=2\int_0^{\frac13} \frac{\ln x}{x^2+2^2}\,dx-3\int_0^{\frac13}\frac{\ln x}{x^2+3^2}\,dx$$

Ahora estas integrales también se puede hacer por parciales de fracción (de donde surgen las cosas complejas) y la antiderivada de las partes restantes se encuentran fácilmente en términos de logaritmos y dilogarithms..

Así que el logaritmo y $tan^{-1}$ cancelar al final, dejando a:

$$ I=\frac12\Im\operatorname{Li_2}\left(\frac1{9i}\right)-\frac12\Im\operatorname{Li_2}\left(\frac1{6i}\right)$$

Editar

La cancelación definitiva y Chris comentario de abajo sugieren un desvío a la integración por partes y fracciones parciales de la descomposición:

Nos damos cuenta de que $\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+6}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$, de donde

$$I=\frac12\int_0^{\frac13}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+6}\right)}{x} dx=\frac12\int_0^{\frac13}\frac{\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)-\tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)}{x}dx\\=\frac12\int_0^{\frac16}\frac{\tan^{-1}x}{x}dx-\frac12\int_0^{\frac19}\frac{\tan^{-1}x}{x}dx=\frac{1}{2}\operatorname{Ti}_2\left(\frac{1}{6}\right)-\frac12\operatorname{Ti}‌​_2\left(\frac{1}{9}\right).$$

Answer 2

La explotación de integración por partes, el problema se reduce a calcular:

$$ \int_{1/2}^{1}\left(\log(1+x)-\log(1-x)\right)\left(\frac{3}{5x^2+8x+5}-\frac{4}{5x^2+6x+5}\right)\,dx $$ y por parciales de la descomposición de la fracción que es equivalente a la informática: $$ I_{\pm}(\zeta)=\int_{1/2}^{1}\frac{\log(1\pm x)}{x-\zeta}\,dx $$ con $\zeta\in\left\{-\frac{3}{5}-\frac{4i}{5},-\frac{3}{5}+\frac{4i}{5},-\frac{4}{5}-\frac{3i}{5},-\frac{4}{5}+\frac{3i}{5}\right\} $. Podemos comprobar que: $$ \int \frac{\log(1+x)}{x-a} = \log(1+x)\log\left(1-\frac{1+x}{1+a}\right)+\text{Li}_2\left(\frac{1+x}{1-a}\right) $$ es por diferenciación para calcular la forma cerrada de la original de la integral en términos de dilogarithms y productos de logaritmos sólo.

Answer 3

Puede ser fácilmente controlado por la diferenciación que: $${\large\int}\,\frac{\arctan\left(\frac{1-x^2}{7 x^2+10x+7}\right)}{1-x^2} \, dx=\\ \frac i4\left[\vphantom{\Large|}\operatorname{Li}_2\left(\left(-\tfrac12+\tfrac i6\right)(x-1)\right)-\operatorname{Li}_2\left(\left(-\tfrac12-\tfrac i6\right)(x-1)\right)\\ \,+\operatorname{Li}_2\left(\left(-\tfrac12-\tfrac i4\right)(x-1)\right)-\operatorname{Li}_2\left(\left(-\tfrac12+\tfrac i4\right)(x-1)\right)\\ \!\!\!\!\!\!+\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12+i\right)(x+1)\right)\,\,\,\,\,\,-\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12-i\right)(x+1)\right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12-\tfrac{3i}2\right)(x+1)\right)\,\,\,-\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12+\tfrac{3i}2\right) (x+1)\right)\right]\color{color gris}{+C}$$ Esto nos permite evaluar una integral definida sobre algún intervalo.

Si usted está interesado sólo en los valores reales de a$x$, la antiderivada se puede simplificar a: $$\frac12\Im\left[\vphantom{\Large|}\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12+\tfrac{3i}2\right)(x+1)\right)-\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac12+i\right)(x+1)\right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac i4-\tfrac12\right)(x-1)\right)-\operatorname{Li}_2\left(\left(\tfrac i6-\tfrac12\right)(x-1)\right)\right]\color{color gris}{+C}$$

Answer 4

Arce ha encontrado que este aquí $${\rm arctanh} \left(1/2\right)\arctan \left( 1/7 \right) -\arctan \left( {\frac {13}{6}} \right) \ln \left( 3 \right) +1/2\,\ln \left( 3 \right) \pi -1/2\,\ln \left( 3 \right) \arctan \left( { \frac {49}{31}} \right) +i/4{\it dilog} \left( 1/4-9/4\,i \right) -i/4 {\it dilog} \left( -3\,i \right) +i/4{\it dilog} \left( 1/4+3/2\,i \right) -i/4{\it dilog} \left( 1/4-3/2\,i \right) +i/4{\it dilog} \left( 3\,i \right) +i/4{\it dilog} \left( -2\,i \right) +i/4{\it dilog} \left( 3/4-i/12 \right) +i/4{\it dilog} \left( 3/4+i/8 \right) -i/4{\it dilog} \left( 1/4+9/4\,i \right) -i/4{\it dilog} \left( 2\,i \right) -i/4{\it dilog} \left( 3/4+i/12 \right) -i/4{\it dilog} \left( 3/4-i/8 \right) $$ Ahora usted puede comparar