Es un resultado estándar que finito campos cíclico multiplicativo de los grupos (el cero de los elementos con respecto al campo de la multiplicación).
Una discusión reciente en esta Pregunta me lleva a preguntar sobre los que conversar:
Es un campo de $F$ cuyo grupo multiplicativo $F^*$ es cíclico necesariamente finito?
Claramente la mayor de un grupo cíclico puede ser es contable, y por lo tanto $F$ también sería en la mayoría de los contables.
Sí. Si $F^*$ es infinito cíclico, a continuación, $F^*$ es de torsiones, y, en particular, esto significa que $F$ tiene sólo una raíz cuadrada de $1$. Por lo tanto $F$ tiene características de las $2$, y, además, $F$ no puede contener trivial finito extensión de $\mathbb{F}_2$ (ya que cualquiera de estos finitos extensión daría torsión en $F^*$). Por lo tanto $F$ contiene un subcampo de la forma $\mathbb{F}_2(x)$. Pero el grupo de unidades de $\mathbb{F}_2(x)$ es libre de rango infinito (generado por los polinomios irreducibles sobre $\mathbb{F}_2$), y, en particular, no puede ser un subgrupo de un grupo cíclico. Esta es una contradicción.
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