Es un campo con cíclico grupo multiplicativo necesariamente finito?

Question

Es un resultado estándar que finito campos cíclico multiplicativo de los grupos (el cero de los elementos con respecto al campo de la multiplicación).

Una discusión reciente en esta Pregunta me lleva a preguntar sobre los que conversar:

Es un campo de $F$ cuyo grupo multiplicativo $F^*$ es cíclico necesariamente finito?

Claramente la mayor de un grupo cíclico puede ser es contable, y por lo tanto $F$ también sería en la mayoría de los contables.

Answer 1

Sí. Si $F^*$ es infinito cíclico, a continuación, $F^*$ es de torsiones, y, en particular, esto significa que $F$ tiene sólo una raíz cuadrada de $1$. Por lo tanto $F$ tiene características de las $2$, y, además, $F$ no puede contener trivial finito extensión de $\mathbb{F}_2$ (ya que cualquiera de estos finitos extensión daría torsión en $F^*$). Por lo tanto $F$ contiene un subcampo de la forma $\mathbb{F}_2(x)$. Pero el grupo de unidades de $\mathbb{F}_2(x)$ es libre de rango infinito (generado por los polinomios irreducibles sobre $\mathbb{F}_2$), y, en particular, no puede ser un subgrupo de un grupo cíclico. Esta es una contradicción.