Si $\int_0^{x/3} f(t)dt =\int_0^xf(t)dt$, demuestran $f$ es idéntica $0$

Question

$f:[0,1] \to \mathbf R$ es continua. Si $$\int_0^{x/3} f(t)dt =\int_0^xf(t)dt$$ for all $x$ in $[0,1]$, prove that $f$ is identically $0$.

Mi pensamiento es para demostrar que el máximo y el mínimo de $f$ son iguales, a continuación, $f$ es constante y esta constante sólo puede ser cero. Pero no puedo pensar en una manera de hacer eso. Puede alguien ayudar y darme algunos consejos. Gracias.

Answer 1

Deje $F(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{dt}, x \in [0,1]$ ser una primitiva de $f$.

Tomando $x \in [0, 1]$, $F(x)=F(x/3)$ obtenemos (por cambiar de forma recursiva $x \rightarrow x/3$) $F(x)=F(x/3^{n}), \forall n \in \mathbf N$. Debido a que F continua y $(x/3^n) \rightarrow 0$ al $n \rightarrow \infty$ tenemos $F(x)=F(0)$. Por lo tanto F es constante e $f = F'= 0$

Answer 2

Ampliar @BolzWeir la respuesta.

Primero me propongo mostrar que $f(0)=0$:

Debido a la igualdad que hemos $$\int_{x/3}^x f =0$$ para todos los $x\in[0,1]$. Tenga en cuenta que $f$ es uniformemente continua en a $[0,1]$, es decir, para un $\epsilon>0$ podemos encontrar un uniforme de $\delta>0$ que se adapte a todas las $x\in [0,1]$. Supongamos $f(0)=a> 0$, luego deje $\epsilon=a/2$, y tomar una arbitraria $x\in(0,\delta)$, tendríamos $$\int_{x/3}^x f >a/2\cdot 2x/3>0$$ una contradicción. En el caso de que $a<0$ es tratado de la misma manera.

Por la continuidad, que significa $f(x)\to 0$$x\to 0^+$. Y para todos los $x\in[0,1]$, con base en @BolzWeir la respuesta $$3^nf(x)=f(\frac x{3^n})\to 0\quad \text{as}\, n\to\infty$$ lo que indica $f(x)=0$.

Answer 3

Aquí hay otra manera:

Es sencillo ver a partir de las hipótesis que $\int_0^x f = \int_0^{x \over 3^n} f$ cualquier $n$, y tomando límites, que $\int_0^x f = 0$ cualquier $x$. En particular, se sigue que $\int_a^b f = \int_0^b f -\int_0^a f = 0$ y por lo tanto (razonamiento por contradicción de una adecuada pequeño intervalo) que $f = 0$.

Si $f$ es simplemente integrable, el anterior razonamiento puede extenderse a mostrar que $f(x) = 0$ para la ae. $x$.