Estimador de máxima verosimilitud para un mínimo de distribuciones exponenciales

Question

Estoy atascado en la forma de resolver este problema.

Por lo tanto, tenemos dos secuencias de variables aleatorias, $X_i$$Y_i$$i=1,...,n$. Ahora, $X$ $Y$ son independientes distribuciones exponenciales con los parámetros de $\lambda$$\mu$. Sin embargo, en lugar de la observación de $X$$Y$, podemos observar en lugar de $Z$$W$.

$Z=\min(X_i,Y_i)$ $W=1$ si $Z_i=X_i$ y 0 si $Z_i=Y_i$. Tengo que encontrar cerrado de formas para los estimadores de máxima verosimilitud de $\lambda$ $\mu$ sobre la base de la $Z$$W$. Aún más, tenemos que demostrar que estos son máximos globales.

Ahora, yo sé que el mínimo de dos exponenciales independientes en sí es exponencial, con una tasa igual a la suma de las tarifas, así que sabemos que $Z$ es exponencial con parámetro de $\lambda+\mu$. Por lo tanto nuestro estimador de máxima verosimilitud es: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$.

Pero estoy atascado con a dónde ir desde aquí. Sé que $W$ es una distribución de Bernoulli con parámetro de $p=P(Z_i=X_i)$, pero no sé cómo ir sobre la conversión de esta en una declaración acerca de uno de los parámetros. Por ejemplo, ¿qué sería de la MLE $\bar{W}$ ser la estimación en términos de $\lambda$ y/o $\mu$? Entiendo que si $Z_i=X_i$,$\mu=0$, pero estoy teniendo un tiempo difícil averiguar cómo llegar a cualquier afirmación algebraica, aquí.

ACTUALIZACIÓN 1: por Lo que me han dicho en los comentarios para derivar la probabilidad para la distribución conjunta de $Z$$W$.

Por lo $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ donde $p=P(Z_i=X_i)$. La correcta? No sé de qué otra manera para obtener una distribución conjunta en este caso, ya que los $Z$ $W$ no son independientes.

Así que esto nos da, $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$, por la definición de $W$ por encima. Pero ahora, ¿qué? Esto no me lleve a nada. Si voy a través de los pasos de cálculo de la probabilidad, me sale: (usar $m$ $n$ como el tamaño de la muestra para cada parte de la mezcla...)

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Si puedo tomar las derivadas parciales, este me dice que mi MLE estimaciones para $\lambda$ $\mu$ sólo son el promedio de la $Z$'s condicional en $W$. Es decir,

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

y

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Answer 1

No tengo suficientes puntos para comentar, así que voy a escribir aquí. Creo que el problema que usted publique puede ser visto desde un análisis de supervivencia perspectiva, si se consideran las siguientes:

$X_i$: True tiempo de supervivencia,

$Y_i$: La censura de tiempo,

Ambos tienen una distribución exponencial con $X$ $Y$ independiente. A continuación, $Z_i$ es el observado el tiempo de supervivencia y $W_i$ la censura en el indicador.

Si usted está familiarizado con el análisis de supervivencia, creo que se puede empezar a partir de este punto.

Notas: Una buena fuente: Análisis de Datos de Supervivencia por R. D. Cox y D. Oakes

A continuación se muestra un ejemplo: Suponiendo que el p.d.f de la supervivencia de la distribución del tiempo es $f(t)=\rho e^{-\rho t}$. A continuación, la supervivencia de la función es: $S(t)=e^{-\rho t}$. Y la log-verosimilitud es:

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

con suma más de sin censura de la gente ($u$) y censurado personas ($c$) respectivamente.

Debido al hecho de que $f(t)=h(t)S(t)$ donde h(t) es la función de riesgo, esto se puede escribir:

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Y el estimador de máxima verosimilitud $\hat{\rho}$ $\rho$ es:

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ donde $d$ es el número total de casos de $W_i=1$