Sea k un campo y sea X esquema sobre k. Sea K un campo de extensión de k y se denota por a $X_K$ la base de cambio de X a las Especificaciones K. ¿Bajo qué condiciones es la canónica mapa de Picard grupos $Pic(X)\to Pic(X_K)$, inducida por la proyección, inyectiva? Sé que esto es cierto si X es geométricamente integral y adecuada sobre k, pero lo que si X es sólo de finito, separados y geométricamente integral sobre k?
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sickgemini
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2001
Esto no es cierto. Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{R}$, de tal manera que $E(\mathbb{R})$ tiene un componente conectado. Deje $u$ ser un punto de $E(\mathbb{C}) \setminus E(\mathbb{R})$. Escrito $\sigma$ para el complejo de la conjugación;$u + \sigma(u)$$E(\mathbb{R})$. Dos de las soluciones a $2v=u + \sigma(u)$ son reales y los otros dos son el complejo conjugado a cada uno de los demás; dejar el $v$ $\sigma(v)$ ser el conjugado complejo de par. Así
$$2v=2\sigma(v) = u + \sigma(u)$$
en el grupo de la ley de $E$.
Ahora, vamos a $X = E \setminus \{ v, \sigma(v) \}$ y considerar la línea bundle $L:=\mathcal{O}(u + \sigma(u))$. Dado que este es un $\sigma$ invariante divisor, la línea bundle $L$ se define sobre $\mathbb{R}$. Yo reclamo que $L$ es trivial, sino que se convierte en trivial después de la base que se extiende a $\mathbb{C}$.
La prueba de que $L$ es trivial: Si no, no sería una función real $f$$X$, con divisor de cero, precisamente,$u + \sigma(u)$. Se extiende a una función de meromorphic en $E$, tendríamos $$u + \sigma(u) = k v + (2-k) \sigma(v).$$ Pero, puesto que el $f$ $\sigma$ invariante, se ha polos de la misma orden en$v$$\sigma(v)$, lo $u + \sigma(u) = v + \sigma(v)$. El uso de la relación lineal $u + \sigma(u) = 2v$, podemos deducir que $v = \sigma(v)$, contradiciendo ese $v$ fue elegido no ser real.
La prueba de que $L \times_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ es trivial: La relación $u + \sigma(u) = 2v$ significa que hay una función de meromorphic en $E$ con ceros en las $u$$\sigma(u)$, y una doble con polo a $v$. La restricción de esta función $X$, obtenemos una banalización de la $L$.
JimmyJ
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Tal vez vale la pena la grabación de un sencillo ejemplo: supongamos $X_k= \text{Spec}(k[x,y]/(x^2+y^2-1))$. A continuación, $\text{Pic}(X_{\mathbb R}) = \mathbb Z/(2)$ mientras $\text{Pic}(X_{\mathbb C}) = \mathbb 0$, ver Fossum del libro "Divisor de los grupos de la clase de Krull de dominios", la Proposición 11.8.
Ian Purton
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En un integral, adecuado esquema de X más k una línea de paquete L es trivial si y sólo si L y su doble tiene un no-cero de la sección global. Esto puede comprobarse después de un arbitrario de extensión de campo. La prueba de este criterio que utiliza la sección global de O_X son un campo. Véase, por ejemplo, la prueba del Corolario II.5.6 en Mumford, el libro de abelian variedades.
