$x,y,z \geqslant 0$ $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ , demuestran $x^{\frac85}+y^{\frac85}+z^{\frac85} \geqslant 3$

Question

$x,y,z \geqslant 0$ $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ , probar $$x^{\frac85}+y^{\frac85}+z^{\frac85} \geqslant 3$$
1) La igualdad se produce sólo en $x,y,z=1$. Supongamos $F=x^n+y^n+z^n$, me di cuenta de que $n=1$$F \leqslant 3$$n=2$$F \geqslant 3$. Creo $n=\frac85=1.6$ es un muy fuerte desigualdad.
2) trato trigonométricas sustitución, pero no puede eliminar el radical . $n=\frac85$ es demasiado para la manipulación algebraica.

Answer 1

Deje $x=2\cos\alpha$ $y=2\cos\beta$ donde $\{\alpha,\beta\}\subset\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

Por lo tanto, $z=2\cos\gamma$ donde$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$\gamma\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

Deje $f(x)=\left(\cos x\right)^{\frac{8}{5}}$.

Desde $f''(x)=\frac{-8(1+4\cos2x)}{25\sqrt[5]{\cos^2x}}\geq0$ todos los $x\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)$, por Vasc del Teorema de RCF

queda por demostrar que la desigualdad de la $\beta=\alpha$ $\gamma=\pi-2\alpha$ o

para $y=x$ $z=2-x^2$ donde $0\leq x\leq\sqrt2$.

Id est, queda por demostrar que $2x^{\frac{8}{5}}+(2-x^2)^{\frac{8}{5}}\geq3$, lo cual es evidente.

Answer 2

Sustituto $x′^5=x,y′^5=y,z′^5=z$ y observe $x′=y′=z′=1-\epsilon<1$ da peor de los casos (la más alta posible de la suma) por $x'^{10}+y'^{10}+z'^{10}+x'^{5}y'^{5}z'^{5}=4-\epsilon'<4$ y todavía mantiene la $x′^8+y′^8+z′^8<3$ y demostrar contrapositivo a su declaración.