Hay una base independiente de la prueba de la identidad de Abel?

Question

Abel la identidad de los estados que si $X(t)$ $A(t)$ $n\times n$ matriz de funciones con valores tales que $X'(t)=A(t)X(t)$,$\frac{d}{dt}(\det X(t)) = \mathrm{tr}\,A(t) \cdot \det X(t)$.

La pregunta es si hay un buen alto de la ceja base independiente de la manera de ver esto. Dado que se puede plantear el problema, sin referirse a la matriz de entradas, quiero probarlo, sin referirse a la matriz de entradas. Yo esperaría que la identidad de $\det e^A = e^{\mathrm{tr}(A)}$ a desempeñar un papel central en la prueba, pero que aún no han llegado con tal argumento.

---

Usted puede comprobar esto sin demasiados problemas en un desnudo de manos de forma, pero no veo cómo convertir esto en una base libre de la prueba. Supongamos $X_i(t)$ es la matriz que se obtiene a partir de a $X(t)$ tomando la derivada de cada entrada en el $i$-ésima fila. A continuación,$\frac{d}{dt}(\det X(t)) = \sum_{i=1}^n \det(X_i(t))$. Usando la relación $X'(t)=A(t)X(t)$ puede expresar la derivada de la $i$-ésima fila de a $X'(t)$ en términos de las entradas de $A$$X$. Al hacer esto, usted encontrará que $\det X_i(t)$ es simplemente $\det X(t)$ multiplicado por el $(i,i)$-ésima de a $A(t)$.

Answer 1

Por favor, perdona este argumento que juega bastante rápido y suelto con infinitesimals. Si usted ignora de segundo orden, un cambio infinitesimal $\delta t$ $t$ es de $X(t)$$\big(I + \delta t A(t)\big) X(t)$. Desde el determinante y distribuye más de multiplicación, todo lo que tiene para mostrar es que el $\det\big(I + \delta t A(t)\big)$ $1 + \delta t \operatorname{tr}A$ para infinitesimal $\delta t $. Más formalmente, usted necesita $\frac{d}{d\tau} \det(I + \tau A) = \operatorname{tr}A$. Desde $I + \tau A$ está de acuerdo con $e^{\tau A}$ a primer orden (de acuerdo a la serie de Taylor), se puede diferenciar la identidad de $\det e^{\tau A} = e^{\operatorname{tr} \tau A}$ con respecto al $\tau$ y obtener el resultado deseado.

Actualización: una De alta en la ceja de vista, creo que tiene mucho más sentido para convertir esto en una forma geométrica de la luz, ya que tiene mucho que ver con la interpretación geométrica de la traza. Considere cómo el vector ODE $x'(t) = A(t) x(t)$ actúa sobre Euclidiana $n$-espacio. La identidad de $\det e^A = e^{\operatorname{tr}A}$ es una declaración de que el hecho de que la constante $A$, el volumen de cualquier región crece (o reduce) de manera exponencial en la tasa de $\operatorname{tr}A$ bajo esta ODA. (Esto es bueno para la variable $A(t)$ demasiado mientras no nos preocupamos de efectos de segundo orden.) Ahora piensa en $X(t) $ como la definición de un paralelepípedo en $n$-espacio al fluir bajo la acción de la educación a distancia. El volumen del paralelepípedo es $\det X(t)$, y su tasa de cambio es, por tanto, $\operatorname{tr}A $ veces que. Creo que esta es la respuesta que me han dado en el primer lugar.