Un detalle en la prueba de Auslander-Buchsbaum Teorema de

Question

Estoy tratando de entender la prueba de un teorema (de Auslander-Buchsbaum), que dice que, dado un anillo local $(R,m)$ donde $m$ es el máximo ideal, y un finitely generado distinto de cero $R$-módulo de $M$ de tal forma que su dimensión proyectiva $\operatorname{pd}_R M$ es finito, entonces la siguiente fórmula se tiene: $$\operatorname{pd}_R M + \operatorname{depth} M= \operatorname{depth} R.$$

Os recuerdo que la cantidad de $\operatorname{depth} M$ en general se define como la longitud de la secuencia regular $\bar{x}=x_1,\dots,x_n$ $M$ $m$ ($\bar{x}$ es el máximo de la secuencia de elementos en $m$ tales que (1) $M/(\bar{x})M\neq 0$ y (2) $x_j$ no es divisor de cero en a $M/(x_1,\dots,x_{j-1})M$).

En la prueba de este teorema (demostrado por inducción) se utiliza el hecho de que la dimensión proyectiva $\operatorname{pd}_R M$ es igual a $\operatorname{pd}_{R/xR}M/xM$ donde $x$ no es un zerodivisor en $M$ o en $R$, pero no puedo entender por qué esto debe ser así... ¿me Pueden ayudar?

Answer 1

Puede volver a utilizar la inducción para demostrar este hecho. Base $\operatorname{pd}_R M=0$ es obvia. Si $\operatorname{pd}_R M=n>0$, vamos a $F$ ser un finitely módulo generado s.t. tenemos una epimorphism $F \to M$, denotan núcleo de este mapa, por $K$, por lo que tenemos una breve secuencia exacta $$0 \to K \to F \to M \to 0.$$ Pero $\operatorname{Tor}_1^R(M, R/xR)=\{a \in M : xa=0\}=0$, por lo tanto la secuencia de más de $R/xR$ $$0 \to K/xK \to F/xF \to M/xM \to 0$$ es exacto.

$\operatorname{pd}_R K=n-1$, y por inducción $\operatorname{pd}_{R/xR} {K/xK}=n-1$, módulo de $F/xF$ es gratuita a través de $R/xR$$\operatorname{pd}_{R/xR} {M/xM}=n$.