Las raíces se comportan de manera extraña sobre los números complejos. Dado esto, ¿cómo no enteros potencias se comportan sobre los números negativos? Más específicamente:
Como otros carteles han indicado, el problema es que el complejo logaritmo no está bien definido en $\mathbb{C}$. Esto está relacionado con mis comentarios en una reciente pregunta acerca de la raíz cuadrada no está bien definida (ya que el curso de $\sqrt{z} = e^{ \frac{\log z}{2} }$).
Un punto de vista es que el complejo exponencial $e^z : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, en realidad no tiene dominio $\mathbb{C}$. Debido a la periodicidad que realmente tiene el dominio $\mathbb{C}/2\pi i \mathbb{Z}$. Así que una manera de definir el logaritmo complejo no es como una función de rango en $\mathbb{C}$, pero como una función de rango en $\mathbb{C}/2\pi i \mathbb{Z}$. Así, por ejemplo, $\log 1 = 0, 2 \pi i, - 2 \pi i, ...$ y así sucesivamente.
Entonces, ¿qué es lo que hacemos cuando no hacemos esto? Bien, supongamos que por el momento hemos decidido que $\log 1 = 0$. Esta es la manera de obtener otros valores del logaritmo: uso el poder de la serie, podemos definir a la $\log (1 + z)$ cualquier $z$$|z| < 1$. Ahora podemos elegir cualquier número en este círculo y tomar un poder de expansión de la serie sobre ese número para obtener una alimentación diferente de la serie cuyo círculo de convergencia está en otro lugar. Y por cambiar repetidamente el centro de nuestra potencia de la serie, se pueden calcular los diferentes valores del logaritmo. Esto se denomina continuación analítica, y normalmente se procede a la elección de un (digamos, suave) camino de $1$ a algún otro número complejo y tomar el poder de la serie alrededor de diferentes puntos en el camino.
El problema rápidamente es que el valor de $\log z$ depende de la elección del camino de$1$$z$. Por ejemplo, el camino de $z = e^{2 \pi i t}, 0 \le t \le 1$ es un camino de$1$$1$, y si analíticamente continuar el logaritmo en lo que va a obtener $\log 1 = 2 \pi i$. Y eso no es lo que quería. (Esto es esencialmente el mismo que el contorno integral de $\frac{1}{z}$ a lo largo de este contorno.)
Una forma de evitar este problema es elegir arbitrariamente un rayo desde el origen y declarar que no está permitido analíticamente continuar el logaritmo a través de este rayo. Esto es llamado la elección de una rama cortada, y no es canónica, por lo que no me gusta.
Hay otra manera de resolver esta situación, en la que se considere la superficie de Riemann $(z, e^z) \subset \mathbb{C}^2$ y a pensar en el logaritmo como la proyección de la primera coordenada de la superficie de este a $\mathbb{C}$. Así todas las dificultades que hemos encontrado anteriormente han sido debido al hecho de que hemos estado tratando de fingir que esta proyección tiene ciertas propiedades que no tiene. Un camino cerrado como $z = e^{2\pi i t}$ en el que el logaritmo comienza y termina con diferentes valores corresponde a una ruta de acceso en la superficie de este, que comienza y termina en diferentes puntos, por lo que no hay ninguna contradicción. Este fue Riemann, motivación original para la definición de las superficies de Riemann, y es este particular superficie de Riemann que los poderes de las cosas, como el teorema de los residuos.
Wikipedia dice: "el Complejo de poderes de positivos reales se definen a través de e^x como en la sección Complejos potencias de números reales positivos por encima. Estas son funciones continuas. Tratando de extender estas funciones para el caso general de no entera potencias de números complejos que no son positivos reales conduce a dificultades. Ya sea que nos definir funciones discontinuas o varios valores de funciones."
Así que permítanme decir algunas palabras más. Esencialmente lo que estamos buscando es $z^a=e^{a log(t)}$. Pero como usted puede o no puede saber, complejos logaritmos son problemáticos dependiendo de su punto de vista.
En una respuesta a Harry pregunta, describo un más cuidadoso en su manera de definir la compleja función exponencial, y sugieren que uno sólo debe inversa para obtener su logaritmo. De esta manera es segura y el rendimiento de su logaritmo.
Si son menos de spot, y están dispuestos a tomar sobre los aminoácidos de los logaritmos, sugiero $Log(z)=ln\mid z\mid +iArg(z)$ donde Arg es el principio del argumento. Esto le llevará a ramificada exponentes.
A continuación es mi geométricas comprensión de por qué irracional de los poderes de los negativos son difíciles de definir. Como tal, es probable que no sea riguroso y puede estar equivocado.
La forma irracional de los poderes de los números reales se define generalmente es por los límites de la fracción de poderes.
Para los números complejos, el mismo es cierto, excepto la limitación de que el proceso es más complicado. Por supuesto que podemos costa como es habitual en nuestra números reales resultado y ver que solo necesitamos definir irracional poderes en el círculo unidad, ya que todos los demás puntos es una real positivo múltiples de un punto en el círculo unitario.
Ahora, en general, z> z^n envuelve el círculo alrededor de sí mismo n veces. ¿Qué z>z^(1/n)? Bueno, no es claro, ya que cada punto tiene n puntos posibles que se podrían haber venido de, en particular, si la partición de el círculo en n arcos de longitud 2pi/n, cada uno de esos obtiene asignada para el círculo completo. Una vez que elija un arranque de arco, aunque, z> z^m mapas el arranque de arco a otros arcos de la siguiente manera. La partición de inicio de arco de longitud 2pi/n en arcos de longitud 2pi/(nm) y, a continuación, cada uno de los pequeños arcos obtiene asignada a un gran arco que se 2pim/n lejos de la anterior gran arco.
La razón por la que usted elija arcos frente a extrañamente distribuido conjuntos discretos, es porque quiere exponenciación ser continua y, por tanto, desea que la imagen inversa de los conjuntos como el círculo entero está conectado.
No hay ningún problema con fracciones de poderes de -1, se tiene n opciones de arranque de arco. Pero si usted quiere que su exponenciación tener cierta apariencia de continuidad con respecto a la exponente, entonces usted tiene que ser la elección de las ramas (los arcos) para z>z^(1/n) que son coherentes, es decir, tal que si n es muy grande las raíces se vuelven más y más juntos. Esto se hace mediante la exigencia de que la raíz enésima de 1 siempre es 1, lo que hace que todos los arcos en los barrios de 1. Pero esto significa que todos los puntos de discusión entre 0 y pi se correlacionan en el medio del arco por encima de 1, y todos los puntos de discusión entre pi y 2pi se correlacionan en la mitad del arco de debajo de 1.
Por lo tanto, si usted enfoque -1 de arriba y de abajo, los dos límites de la raíz enésima será diferente, y por lo tanto, usted no puede tener continua exponenciación en -1.
Como resultado de ello (se puede hacer más de visualización si se desea), la irracional poderes de -1 puede ser definida como límite de los poderes racionales.
Podemos definir complejo de poderes como
$z^w := e^{(l(z)*w)}$ $z,w \in \mathbb{C}$ y una compleja función logaritmo $l$
por supuesto, usted necesita para asegurarse de que no existe realmente un logaritmo $l:U\to\mathbb{C}$ función de ($U$ tiene que ser simplemente conectado subconjunto de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$
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