Encontrar la norma de la matriz de una transformación lineal

Question

Si T: $\Bbb R$3→ $\Bbb R$3 es una transformación lineal tal que:

$$ T \Bigg (\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{bmatrix} \Bigg) = \begin{bmatrix} 5\\ 3 \\ 14 \\ \end{bmatrix}$$ $$T \Bigg (\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \Bigg) = \begin{bmatrix}-4 \\ 6 \\ -14 \\ \end{bmatrix}$$ $$ T\Bigg (\begin{bmatrix}-4 \\ -5 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \Bigg) = \begin{bmatrix} -6\\ -40 \\ -2 \\ \end{bmatrix} $$

A continuación, la matriz estándar para T...

No estoy exactamente seguro de cómo abordar este problema. Podría alguien explicar cómo resolver este problema?

Answer 1

La matriz estándar tiene columnas que son las imágenes de los vectores de la base estándar $$ T \Bigg (\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \Bigg), \qquad T \Bigg (\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} \Bigg), \qquad T\Bigg (\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}\Bigg). \etiqueta{1} $$ Así que se podría resolver un sistema de ecuaciones lineales para escribir los vectores de la base estándar en términos de los vectores $$ \begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \\ \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}-4 \\ -5 \\ 5 \\ \end{bmatrix}, $$ y a continuación, obtener (1).

Alternativamente, tenga en cuenta que si $A$ es la matriz estándar que usted está buscando, entonces $$ A \cdot \begin{bmatrix}-2 & 3 & -4\\ 3 &-2&-5 \\ -4&3&5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -6\\ 3 & 6 & -40 \\ 14 & -14 & -2 \\ \end{bmatrix}, $$ y multiplicarse en el derecho por la inversa de $$ \begin{bmatrix}-2 & 3 & -4\\ 3 &-2&-5 \\ -4&3&5 \\ \end{bmatrix}. $$

Spoiler Y la matriz $A$ es...

$$\begin{bmatrix}-1& 5& 3\\ 5& 3&-1\\-2& -2 & -4\end{bmatrix}$$

Muchas Gracias a @MartinSleziak para corregir dos errores en los comentarios de abajo.

Answer 2

Usted puede poner en una matriz de vectores y sus imágenes. Si, a continuación, hacer operaciones elementales con sus filas, esta propiedad no es cambiado. (Después de cada paso en cada fila es un vector y su imagen. Esto es debido a la linealidad.) Si te las arreglas para obtener la matriz de identidad de la izquierda, entonces usted sabe que las imágenes de los vectores de la base estándar, que es suficiente para obtener la matriz de la transformación lineal.

$ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -4 &|& 5 & 3 & 14\\ 3 & -2 & 3 &|& -4 & 6 &-14\\ -4 & -5 & 5 &|& -6 &-40&-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 &|& 1 & 9 & 0\\ 3 & -2 & 3 &|& -4 & 6 &-14\\ -4 & -5 & 5 &|& -6 &-40&-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 &|& 1 & 9 & 0\\ 0 & -5 & 6 &|& -7 &-21 &-14\\ -4 & -5 & 5 &|& -6 &-40&-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 &|& 1 & 9 & 0\\ 0 & -5 & 6 &|& -7 &-21 &-14\\ 0 & -1 & 1 &|& -2 & -4 &-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -1 & 5 &-2\\ 0 & -5 & 6 &|& -7 &-21 &-14\\ 0 & -1 & 1 &|& -2 & -4 &-2 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -1 & 5 &-2\\ 0 & 1 & -1 &|& 2 & 4 & 2\\ 0 & -5 & 6 &|& -7 &-21 &-14 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -1 & 5 &-2\\ 0 & 1 & -1 &|& 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 1 &|& 3 & -1 &-4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -1 & 5 &-2\\ 0 & 1 & 0 &|& 5 & 3 &-2\\ 0 & 0 & 1 &|& 3 & -1 &-4 \end{pmatrix} $

Answer 3

Tenga en cuenta que si $$ \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0 \\ \end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0 \\ \end{pmatrix} -4\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ \end{pmatrix} $$ so $$ T\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -4 \\ \end{pmatrix} = -2\times T\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0 \\ \end{pmatrix} +3\times T\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0 \\ \end{pmatrix} -4\times T\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1 \\ \end{pmatrix} =-2T(\epsilon_1)+3T(\epsilon_2)-4T(\epsilon_3)$$ Now do the same for two other vectors to find out two relations written by to $T(\epsilon_i)$. Here, you have a system of 3 equations and 3 unknowns $T(\epsilon_i)$ which by solving that you get $T(\epsilon_i)_1^3$. Now use that fact that $$T\begin{pmatrix}x \\y \\ z \\ \end{pmatrix} = xT(\epsilon_1)+yT(\epsilon_2)+zT(\epsilon_3)$$ to find the original relation for $T$. Creo que por su regla puede encontrar la matriz asociada.

Answer 4

En primer lugar, encontrar el operador lineal. A continuación, encontrar la matriz con respecto a la standarzd base de $ \mathbb R^3 $.