¿Puede la prueba de series alternantes decirme que una serie diverge?

Question

Mi libro de texto da esta definición de la prueba de la serie alternante:

Prueba para series alternantes. Una serie alternante converge si el valor absoluto de los términos disminuye constantemente hasta cero, es decir, si $|a_{n_1}| \le |a_n|$ y $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$.

De manera similar, Wikipedia da esta definición:

...la prueba de la serie alternante nos dice que una serie alternante convergerá si los términos $a_n$ convergen a 0 monótonamente.

No veo un "si y sólo si" en ninguna de las definiciones. Mi pregunta es: si los términos $a_n$ no convergen a 0 monótonamente, ¿sé que la serie diverge? ¿O la prueba es inconclusa?

Answer 1

Si los términos no convergen a $0$, entonces no podemos tener convergencia. Pero si se abandona la monotonicidad, entonces podríamos tener convergencia o divergencia.

Por ejemplo, la serie $$-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{6^2}+\cdots$$ converge, de hecho converge absolutamente.

La serie $$-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\cdots$$ también converge.

Ahora damos un ejemplo de divergencia. Escribe la serie armónica usual $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$. Entre todos estos términos positivos, coloca, sucesivamente, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2^2}$, $-\frac{1}{2^3}$, $-\frac{1}{2^4}$ y así sucesivamente.

Se pueden producir ejemplos más interesantes. Toma la familiar serie alternante $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$.

Podemos reordenar los términos de esta serie, de modo que todavía alternen en signo, pero la serie resultante diverge.