Es Goedel plazo (en incomleteness teorema) a la vez verdadera y unproveable?

Question

En Goedel teorema de la incompletitud es Goedel plazo a la vez verdadera y unproveable, o simplemente unproveable y la verdad neutral?

Podemos agregar Goedel término de la teoría como axioma y obtener nueva teoría?

Podemos agregar Goedel término de la negación a la teoría y obtener una nueva teoría? ¿Qué se puede decir basora esta última teoría: va a ser incoherente, pero esta inconsistencia nunca manifestate?

Answer 1

Interpreto tu pregunta como se acerca la costumbre sentencia de Gödel $\theta$, lo que se interpreta como diciendo: "no hay ninguna prueba de $\theta$ $\text{PA}$" o quizás más formalmente como "$\neg ( \exists n ) ( \text{Proof}(n,\ulcorner \theta \urcorner) )$," donde $\text{Proof}(x,y)$ es el predicado de la afirmación de que $x$ códigos de una prueba (de $\text{PA}$) de la frase codificada por $y$. Tenga en cuenta que $\theta$ tiene la propiedad de que si $\text{PA}$ ($\omega$- ) coherentes, a $\text{PA} \not\vdash \theta$$\text{PA} \not\vdash \neg \theta$.

(Como un descargo de responsabilidad de tipo, siempre que hablo de "prueba" (en inglés) a continuación, me refiero a una "prueba de $\text{PA}$.")

En cierto sentido, $\theta$ no es ninguna de las opciones de la lista... al menos no sin un poco de extra supuestos. Como $\text{PA}$ es consistente o inconsistente, echemos un vistazo a estos casos por separado:

• Si $\text{PA}$ es consistente (que es probablemente seguro decir que la mayoría de los matemáticos creen), entonces, como $\text{PA} \not\vdash \theta$ se sigue que $\theta$ dice la verdad acerca de sí mismo (como no hay ninguna prueba de $\theta$ $\text{PA}$ ningún número natural puede codificar una prueba de $\theta$$\text{PA}$).
• Si $\text{PA}$ es inconsistente, entonces a $\text{PA}$ demuestra todo, y, en particular,$\text{PA} \vdash \theta$, por lo que la afirmación de que "$\theta$ no tiene ninguna prueba en $\text{PA}$" es falso, es decir, $\theta$ es falso. (Se puede encontrar una prueba de $\theta$$\text{PA}$, y convertir esta prueba en un número de testigos de $( \mathbb{N} , ... ) \models \neg \theta$.)

Para resumir: si $\text{PA}$ es consistente, entonces $\theta$ es un improbable oración que es verdadera; si $\text{PA}$ es inconsistente, entonces a $\theta$ es comprobable la frase es falsa.

El primer caso es la más interesante para el resto de sus preguntas. (Si $\text{PA}$ es inconsistente, entonces también lo son la $\text{PA} + \theta$$\text{PA} + \neg \theta$.) Recordar que si $T$ es la teoría y $\phi$ es cualquier frase, a continuación, $T + \phi$ es consistente iff $T \not\vdash \neg \phi$. Así que si $\text{PA}$ es consistente tenemos los dos $\text{PA} \not\vdash \theta$$\text{PA} \not\vdash \neg\theta$, y por lo tanto $\text{PA} + \neg \theta$ $\text{PA} + \theta$ son consistentes.

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Quizás el más interesante de la sentencia con respecto a la segunda y tercera preguntas es $\text{Con} ( \text{PA} )$ que expresa la consistencia de $\text{PA}$; algo que el efecto de la $\neg ( \exists n ) ( \text{Proof} ( n , \ulcorner 0 = 0 \wedge \neg 0 = 0 \urcorner )$. Esta es otra frase conocida para ser independiente de $\text{PA}$, siempre que $\text{PA}$ es consistente. Siguiente razonamiento similar al anterior, si $\text{PA}$ es consistente, entonces $\text{Con} ( \text{PA} )$ es un verdadero (improbable) de la frase, y si $\text{PA}$ es inconsistente, entonces a $\text{Con} ( \text{PA} )$ es un falso (comprobable) de la frase. De nuevo, en el primer caso, tanto en $\text{Con} ( \text{PA} )$ $\neg \text{Con} ( \text{PA} )$ se puede anexar a $\text{PA}$ a un rendimiento consistente de la teoría.

Mirando la consistencia de $\text{PA} + \neg \text{Con} ( \text{PA} )$, recordemos que esto significa, a través de Gödel del Teorema de Completitud, que tiene algún modelo de $\mathcal{M}$. Como $\mathcal{M} \models \neg \text{Con} ( \text{PA} )$, entonces hay algunas $a \in \mathcal{M}$ tal que $\mathcal{M} \models \text{Proof} ( a , \ulcorner 0=0 \wedge \neg 0=0 \urcorner )$, es decir, $\mathcal{M}$ "piensa" que $a$ códigos de una prueba de $0=0 \wedge \neg 0=0$. Sin embargo, esto $a$ no corresponde a ninguno de los reales de número natural, por lo que no podemos traducir este objeto en una verdadera prueba de $0=0 \wedge \neg 0=0$. ($\mathcal{M}$ será un modelo no estándar de $\text{PA}$, y contendrá los objetos que se puede considerar como "infinitamente grandes números naturales;" $a$ será uno de estos).

Answer 2

Yo no soy un experto en estos asuntos, pero creo que puedo responder a todas sus preguntas, así que aquí va.

1. Podemos suponer que la teoría de la $T$ es lo suficientemente fuerte como para demostrar verdades aritméticas; la cualificación técnica no son importantes aquí. El Goedel plazo $G$ para una teoría de la $T$ informalmente afirma que '$G$ no puede ser probada dentro de $T$'. Si $T$ es consistente (que suponemos, de lo contrario $T$ no sería muy interesante), a continuación, $T$ no puede probar la $G$ (obtendríamos una contradicción). Por lo tanto, el término $G$ es realmente cierto $-$ realmente no puede ser probada dentro de $T$.

2. Podemos agregar $G$ $T$como un axioma para obtener la nueva teoría de la $T'$. No hay ningún problema en hacer esto. Sabíamos $G$ era cierto, por lo que estamos agrandando $T$, por lo que su más poderoso y puede resultar más enunciados verdaderos sobre el mundo. $T'$ ahora puede probar $G$ (trivialmente) pero todavía no es completa, ya que el teorema de Goedel produce un nuevo plazo real $G'$ que $T'$ no se puede demostrar.

3. Podemos agregar $\neg G$ $T$como un axioma para obtener la nueva teoría de la $T'$. Esta nueva teoría todavía será consistente si $T$ fue debido a $T$ sí no puede demostrar $G$ y obviamente $\lnot G$ no hará demostrando $G$ más fácil. Sin embargo, sabemos que $G$ era cierto. Por lo tanto, esta nueva teoría de la $T'$ no está de sonido $-$ es demostrar teoremas que no son verdad.