Confusión sobre el conjunto nulo (vacío) contenido en otros conjuntos

Question

Me cuesta entender cómo funciona la teoría de conjuntos nulos. Lo he hecho: $$ X=\emptyset,\quad\quad Y = \{\emptyset\},\quad\quad Z = \{\{\emptyset\}\}. $$

Algunos de mis ejercicios de autoaprendizaje incluyen estas preguntas de verdadero o falso. Ahora, me preocupa más el razonamiento de por qué son verdaderos o falsos en contraposición a las respuestas ya que ya tengo las respuestas, sólo quiero la comprensión.

1. $\emptyset \in X$ .

   Sé que esto es falso porque el conjunto nulo no es un elemento de ningún conjunto.

2. $\emptyset \in Y$ .

   No sé por qué esto es cierto.

3. $\emptyset \in Z$ .

   No sé por qué esto es falso.

4. $X \subseteq Y$ .

   Sé que esto es cierto porque el símbolo del conjunto nulo está directamente dentro del conjunto.

5. $Y \subseteq Z$ .

   No sé por qué esto es cierto.

6. $X \in Y$ .

   La misma razón por la que (2) es cierta, entiendo esta.

7. $Y \in Z$ .

   Esto es cierto porque $\{\emptyset\}$ está directamente dentro del conjunto definido por $Z$ .

Answer 1

Hechos muy importantes: Set afiliación ( $\in$ ) y establecer inclusión ( $\subseteq$ ) son dos muy diferentes. Cuando escribimos $A = \{b\}$ implica que $b \in A$ pero lo hace no implican que $b \subseteq A$ . La única manera de $b \subseteq A$ que sea cierto es si $b$ es un conjunto y el conjunto $b$ no contiene ningún miembro que no sea también miembro de $A$ .

Ahora hay que aplicar estos hechos:

1. El conjunto nulo puede sea un elemento de un conjunto. (Por ejemplo, es un elemento de $Y$ .) Pero el conjunto nulo no tiene elementos, y como $X=\emptyset$ , $X$ no tiene elementos y no se puede escribir $v \in X$ para cualquier $v$ cualquier cosa, incluso $\emptyset$ .

2. $\emptyset \in Y$ porque está escrito que lo es, con toda la claridad posible. La notación $Y=\{v\}$ significa que $Y$ tiene un elemento, y $v$ es ese elemento. Bueno, dejemos que $v=\emptyset$ Es decir, $Y=\{\emptyset\}$ . La declaración que hicimos antes sobre $v$ es ahora cierto sobre $\emptyset$ : $Y$ tiene un elemento, y $\emptyset$ es ese elemento.

3. $Z$ tiene un solo elemento. Ese elemento es el conjunto $\{\emptyset\}$ . Pero $\emptyset\neq\{\emptyset\}$ . Por lo tanto, $\emptyset$ no es un elemento de $Z$ .

4. Es cierto que $X \subseteq Y$ pero esto es no porque $\emptyset$ es un elemento de $Y$ . Es porque $X=\emptyset$ y $\emptyset$ es un subconjunto de cualquier otro conjunto que pueda ser. En otras palabras, no importa lo que hay en $Y$ .

5. Esto es falso. De hecho, $Y \not\subseteq Z$ porque $\emptyset \in Y$ , pero $\emptyset \not\in Z$ . De nuevo, $Z$ tiene un solo elemento y ese elemento es el conjunto $\{\emptyset\}$ , que es no lo mismo que $\emptyset.$

6. Tienes razón, esto es lo mismo que el 2. Ya que $X=\emptyset$ , cuando escribimos $\emptyset\in Y$ estamos diciendo que $X\in Y$ .

7. No conozco la definición matemática de "directamente dentro" aplicada a los conjuntos. Supongo que se refiere a que $\{\emptyset\}$ se encuentra en la lista de elementos entre las llaves exteriores en la definición de $Z$ , $Z=\{\ldots\}.$ Así que sí, $\{\emptyset\} \in Z$ y como $Y=\{\emptyset\}$ , que implica $Y\in Z$ .

Answer 2

Aquí tienes una buena "muleta" que puedes utilizar para este tipo de problemas.

$X= \emptyset$ es una caja vacía, $Y = \{\emptyset\}$ es una caja que contiene una caja vacía, $Z = \{\{\emptyset\}\}$ es una caja que contiene una caja que contiene una caja vacía.

1. ¿Una caja vacía contiene una caja vacía? (No, una caja vacía está vacía).

2. ¿Una caja que contiene una caja vacía contiene una caja vacía? (Sí.)

3. Es fácil confundirse aquí. $Z$ contiene una caja que contiene una caja. $Z$ no contiene una caja vacía. En otras palabras, no nos importa que $Z$ contiene una caja que contiene una caja vacía.

4. ¿Todo lo que hay dentro de la caja vacía está también en $Y$ ? (Sí, porque no hay nada dentro de la caja vacía).

5. ¿Son todos los elementos de la caja $Y$ en la caja $Z$ ? (No, $Z$ no contiene una caja vacía).

6. Esta es la misma afirmación que la 2.

7. Hace $Z$ ¿contiene una caja que contiene una caja vacía? Sí.

Me parece que a veces pensar en los conjuntos de esta manera proporciona un cambio de paradigma útil.

Answer 3

Otros ya han proporcionado algunas buenas respuestas. Esta respuesta trata de determinar la inclusión de conjuntos de forma mecánica, lo que puede ser más fácil de trabajar para empezar.

En lugar de escribir el conjunto vacío como $\emptyset$ escríbelo como {}. Entonces, para cada declaración de la forma $a \in B$ sólo hay que mirar dentro del conjunto de llaves más externo de $B$ para ver si puede encontrar una instancia de $a$ . Si está ahí, entonces la afirmación es verdadera. Si no está, la afirmación es falsa.

Así, por ejemplo, el conjunto vacío {} no contiene el conjunto vacío. El conjunto que sí contiene al conjunto vacío se parece a {{}}.

Answer 4

1) $X=\emptyset$ significa que X es el conjunto nulo, es decir, no contiene ningún elemento o, mejor dicho, el subconjunto de X es el conjunto nulo.

2) $Y=\{\emptyset\}$ significa que $\emptyset$ es un elemento de este conjunto Y que significa que contiene este elemento $\emptyset$ . También se puede decir que los subconjuntos de este conjunto serán el elemento y el conjunto nulo

3) $Z=\{\{\emptyset\}\}$ significa que este conjunto $\{\emptyset\}$ es un elemento del conjunto $Z$ . Esto significa que el subconjunto contendrá el conjunto $\{\emptyset\}$ que es un elemento de $Z$ y el conjunto nulo.

Creo que después de esta lógica podrás responder a todas tus preguntas

Answer 5

Hace poco leí una prueba de por qué el conjunto nulo está contenido en todo conjunto, un concepto que hasta ahora me había confundido.

En lógica formal, si el antecedente de una implicación es falso, entonces la implicación en su conjunto es verdadera. Esto se debe a que el valor de verdad del consecuente es independiente del valor de verdad del antecedente (aunque la inversa de esta afirmación es falsa).

Teniendo esto en cuenta, considere la siguiente implicación:

$x$ $\in$ $\emptyset$ $\implies$ $x$ $\in$ $S$ ,

donde $S$ es un conjunto arbitrario. Por la definición de conjunto vacío, el antecedente es siempre falso. Por lo tanto, la propia implicación es siempre verdadera.

Por eso tu razonamiento de (1) es falso. La razón por la que "falso" es la respuesta correcta es porque $X$ $=$ $\emptyset$ En otras palabras, $X$ no contiene nada. El conjunto nulo es algo, y así $X$ no puede contenerlo.

(2) es cierto porque $Y$ contiene claramente $\emptyset$ .

(3) es técnicamente cierto, por el argumento dado anteriormente. Pero supongamos que $Z$ es algún conjunto excepcional e inexistente que no contiene el conjunto nulo, que parece ser la suposición de quien escribió este problema. El mensaje que se transmite es que un conjunto que contenga al conjunto nulo no es lo mismo que el propio conjunto nulo, por lo que es falso, aunque dicho conjunto no existe ni puede existir realmente.

(4) es cierto, pero de forma vacía. Esto se debe a que $X$ $\subseteq$ $Y$ puede reescribirse como $x$ $\in$ $X$ $\implies$ $x$ $\in$ $Y$ . Como se ha mostrado anteriormente, esta implicación es verdadera porque el antecedente es siempre falso.

(5) es realmente falso. La notación aquí es un poco sutil. Si $A$ y $B$ son conjuntos arbitrarios, entonces, si $A$ $\subseteq$ $B$ , $x$ $\in$ $A$ $\iff$ $x$ $\in$ $B$ para todos los posibles $x$ . Sin embargo, si $A$ $\subset$ $B$ , $A$ se conoce como un "subconjunto propio" de $B$ e implica que existe al menos un elemento $x$ tal que $x$ $\in$ $B$ $\land$ $x$ $\notin$ $A$ En otras palabras, todos los elementos de $A$ están contenidas en $B$ Aunque lo contrario de esta afirmación es falso. Puede ser que quien haya escrito estos problemas utilice $\subseteq$ para significar "subconjunto propio de", en cuyo caso (5) es cierto.

(6) es verdadera por la misma razón que (4) es falsa.

(7) es verdadera por la misma razón que (6).

Es importante distinguir entre $X$ $\subset$ $Y$ lo que significa que todos los elementos de $X$ están contenidas en $Y$ y $X$ $\in$ $Y$ , lo que significa que el conjunto $X$ aunque no necesariamente los elementos individuales de $X$ está contenida en $Y$ .