Patrón de los números primos gemelos

Question

Recientemente he notado un patrón en el doble de los números primos. Mis preguntas son: ¿este patrón de continuar para mantener de forma indefinida, y cómo puedo demostrarlo? Aquí está el patrón:

Para el $n$th prime, existe exactamente $n-2$ twin primer pares que puede ser creado de la siguiente manera:

$p_n$ $n$th primer $P_p$ es un producto individual de los números primos $p_m$ donde $1<m<n$

$(p_n*P_p-4, p_n*P_p-2)$

He aquí lo que he trabajado hasta:

$n=3$ $(p_n=5)$ ha $3-2=1$ twin primer pares $P_p=3$ da $(15-4,15-2)=(11,13)$

$n=4$ 2 $P_p=3$ da $(17,19)$ $P_p=3*5$ da $(101,103)$

$n=5$ 3 (29,31), (227,229), (1151,1153)

$n=6$ 4 (191,193), (269,271), (2141,2143), (2999,3001)

$n=7$ 5 (659,661), (2801,2803), (4637,4639), (23201,23203), (255251,255253)

De nuevo, mis preguntas son: ¿este patrón de continuar para mantener de forma indefinida, y cómo puedo demostrarlo?

P. S. ¿qué tal una foto de una fuerza bruta secuencia de comandos de Mathematica como 20?

Answer 1

Esta es una respuesta a la última de la demanda:

Do[
 q = Prime[n] Times@@@Rest[Subsets[Table[Prime[k], {k, 2, n - 1}]]];
 twin = Intersection[Select[q - 4, PrimeQ] + 2, Select[q - 2, PrimeQ]];
 Print["n = ", n, " - ", twin, " - ", Length[twin]],
 {n, 3, 20}]

El patrón de frenos en $n=9$, ya que hay $8$ e no $7$ pares de dos números primos. Para $n=20$ hay $2674$ pares.

He incluido la posibilidad de $m=2$, ya que lo uso (aunque en la pregunta que usted dice $2<m<n$.)

Answer 2

Julián Aguirre de la respuesta es el definitivo, pero yo también quiero dar una idea de por qué esta conjetura es irracional (es decir, que uno debe esperar a que se convierta en falsa solo por hacer un poco de computación).

Advertencia: ninguno de los siguientes es probada por ejemplo, no se ha demostrado que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos, por lo que la probabilidad de un número formar parte de un doble primer hecho podría ser $0$. Pero se basa en lo que el número de los teóricos de la llamada de una heurística argumento basado en la idea de que los números primos son razonablemente una buena fuente de aleatoriedad y no contienen las correlaciones ocultas, excepto para aquellos que se explica fácilmente (por ejemplo, muy pocos números son primos). Heurística de argumentos se utilizan con frecuencia para adivinar en qué conjeturas verosímiles y que son inverosímiles, y, sorprendentemente, que puede ser muy precisa.

Hay una enorme cantidad de flexibilidad en la elección de $P_p$ (exponencialmente muchas opciones), así que uno podría esperar que el fracaso de esta conjetura será que hay demasiados doble de los números primos de lo previsto (y de hecho esto es lo que Julián descubierto). ¿Cómo podemos comenzar a analizar esto?

Dado que un gran número aleatorio $N$, las posibilidades de que $(N,N+2)$ es un gemelo prime son un poco más alto que el $1/(\log N)^2$. En el caso de que estos números no son completamente al azar, sino que son elegidos específicamente para ser indivisible por ciertos pequeños primos ($2$ así como el de los números primos componer $P_p$), por lo que debe realmente pensar de $1/(\log N)^2$ como límite inferior.

Para un determinado $P_p = \prod_{p \in S_p} p$, el tamaño de $1/(\log N)^2$ dependerá de la configuración específica de los números primos $S_p$ que: $\log N$ sí va a ser casi exactamente igual a $\log p_n + \sum_{p \in S_p} \log p$. Ya vamos para un límite inferior, en lugar de resumir todas las posibilidades que vamos a tomar el peor caso de todos los números primos de$p_2$$p_n$. Esto le da (después de algunos cálculos) $\log N \approx p_n$$1/(\log N)^2 \approx 1/p_n^2$.

Pero hay $2^{n-2}$ opciones para $P_p$. Cada uno de ellos tiene al menos un $1/p_n^2$ oportunidad de ser parte de un doble prime, por lo que de forma heurística que podemos esperar encontrar $2^{n-2}/p_n^2$ doble de los números primos de esta manera. Desde $p_n$ sólo crece tan rápido como $n \log n$, se espera que el número de camas de los números primos enfoques infinito muy rápidamente, así que fácilmente se debe esperar a superar a las $n-2$ sí.

Por otro lado, dado que no tiene razón de ser cierto en general, es bueno que el patrón hace por $n=3, \ldots, 8$.

Answer 3

A partir de un primer $p_n$, el primer candidato para un doble prime que el patrón se genera es $3p_n-4$. Si esta fórmula en efecto, producir números primos, entonces por recorrer, tenemos una forma sencilla de generar arbitrariamente grandes números primos. Eso sería una gran cosa por sí mismo, como no hay tal generador se conoce hoy en día. Por lo que debe ser escéptico de que la fórmula funciona...

Bueno, vamos a intentarlo!

$5 \times 3 - 4 = 11$
$11 \times 3 - 4 = 29$
$29 \times 3 - 4 = 83$
$83 \times 3 - 4 = 245$

pero $245$ no es primo.