El cálculo de este límite : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)-\pi\right)\right]$

Question

Calcular el límite

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)-\pi\right)\right]$$

Ninguno de L'Hospital de la regla ni expansiones de Taylor son permitidos,

Answer 1

En este documento, se presenta un enfoque que se basa en (1) un conjunto de desigualdades para el arco tangente de la función, que se obtiene utilizando sólo elementales de la geometría, y (2) el teorema del sándwich. Para ello, comenzamos con la siguiente cartilla.

IMPRIMACIÓN:

Me mostraron en ESTA RESPUESTA, sólo el uso de primaria de las desigualdades de la geometría, que el arco tangente de la función satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \le \arctan(x) \le x} \tag 1$$

para $x\ge 0$.

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Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)=\pi/4+\arctan\left(\frac{1}{2x+1}\right)$$

Por lo tanto, vemos que

$$4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)-\pi= \arctan\left(\frac4{2x+1}\right) \tag 2$$

La combinación de $(1)$ $(2)$ revela

$$\frac{\frac{4x}{2x+1}}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{2x+1}\right)^2}} \le x\,\left(4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)-\pi\right) \le \frac{4x}{2x+1}$$

con lo cual la aplicación del teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to \infty}x\,\left(4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)-\pi\right)=2}$$

Answer 2

Deje $4\arctan\left(1+\frac1x\right)-\pi=4y,$, luego tenemos a $x=\dfrac{1}{\tan (\pi/4+y)-1}=\dfrac{1-\tan y}{2\tan y}.$
Ahora el límite requerido es igual a $$\lim_{y\to 0}2y\left(\dfrac{1-\tan y}{\tan y}\right)=2$$ as $\lim_{y\to 0}\dfrac{\bronceado y} de{y}=1.$

Answer 3

Una solución sin necesidad de L'Hospital y Taylor que sólo usa la serie geométrica y básicos de cálculo diferencial

Considere la función

$$ f(x)=4\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)\quad f(\infty)=4\arctan(1)=\pi $$

Ahora

$$ f'(x)=-\frac{4}{2 x (x+1)+1} $$

Por una simple aplicación de la serie geométrica vemos que

$$ f'(x)\sim_{\infty}-\frac{2}{x^2} $$

o

$$ f(x)\sim_{\infty}\frac{2}{x}+C $$

donde $C$ es fijado por la condición $f(\infty)=\pi$, por lo que

$$ f(x)\sim_{\infty}\frac{2}{x}+\pi $$

así tenemos

$$ \lim_{x\rightarrow\infty}[x(f(x)-\pi)]=2 $$

Answer 4

Es suficiente para explotar algunos trigonométricas de manipulación. Desde $\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$ tenemos: $$ \arctan\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{4}+\arctan\frac{1}{2x+1} \tag{1}$$ y nuestro límite es igual a (desde $\lim_{z\to 0}\frac{\arctan z}{z}=1$) $$ \lim_{x\to +\infty}4x\arctan\frac{1}{2x+1} =\lim_{x\to +\infty}\frac{4x}{2x+1}=\color{red}{\large 2}.\tag{2}$$