OK, tengo la idea de donde la constante universal de 3, pero no la prueba de $p_n$.
Deje $d_n$ ser estrictamente creciente de la secuencia de los números naturales, de tal manera que las diferencias $d_{n+1}-d_n$ son asintóticamente "pequeño" en comparación con $d_n$ a sí mismos. Vamos a formar una serie de sumas parciales de $\pm d_n$ según las mismas reglas: a menos a menos que la unidad de la suma de los negativos, de lo contrario más. (En una nota de lado, no me gusta la idea de la no-estándar de uso de $\Sigma$, pero también no me gusta para introducir símbolos extra a menos que sea absolutamente necesario, así que me limitaré a evitar la mención de estas sumas parciales de otros que verbalmente). Ahora, ¿qué significa cuando una suma parcial tiene dos crecimiento pasos en una fila?
La mayoría de las veces, los signos sólo tienes que seguir aburrida secuencia alternante: +, -, +, -, +, -... Cada de vez en cuando, la suma parcial cae tan bajo que la próxima (+, -) manejaría por debajo de 0 (lo que significa que la suma era muy baja, menos de $d_{n+1}-d_n$, la cual en sí misma es $o(d_n)$, como he dicho antes). Luego tirar un plus (para la suma, que era básicamente $0$ se convierte básicamente $d_n$) y, a continuación, continúe con el sordo +, -, +, -, +, -... por CIERTO, que es cuando $n$ se convierte en el siguiente término en la $a_k$ de la serie. Ahora, cada uno (+, -) trae la suma de un poco menor, ya que el $d_i-d_{i+1}<0$. Cuánto tiempo podría ser antes de estas mordeduras de agotar nuestras acciones y la suma es impulsado cerca de 0 otra vez? Si hemos de agregar cada diferencia, todos telescopio muy bien, y tendríamos $d_{next}-d_n\approx d_n$ o $d_{next}\approx 2d_n$. Pero sólo usamos todos los otros diferencia. Ahora, si la secuencia crece relativamente "uniformemente" (que es fácil de probar por $d_n=n$ o $n^2$, pero no del todo fácil para $d_n=p_n$), entonces la suma de todos los otros la diferencia es alrededor de la mitad de la suma de todas las diferencias, de modo que se reduce a ${1\over2}(d_{next}-d_n)\approx d_n$ o $d_{next}\approx \color{red}{\bf3}d_n$.
