Es el Impulso Operador de un Postulado?

Question

He estado estudiando los postulados de QM y ver cómo derivar las ideas importantes de ellos. Una cosa que no he sido capaz de deducir de ellos, sin embargo, es la identidad del impulso del operador.

[Por simplicidad, sólo estoy pensando en no efectos relativistas, sin centrifugado, no hay tiempo-dependiente potenciales, y una dimensión espacial. También estoy asumiendo la posición del operador es simplemente la multiplicación por x, como en, estoy en la posición del espacio (por Lo que el operador Hamiltoniano es $\displaystyle H = -\hbar^2/2m\nabla^2+V$)]

Sé que el impulso operador es P = -iℏ ∂/∂x.

Pero, ¿cómo puedo llegar desde los postulados? Sé que esto tiene sentido, ya que los resultados en el Teorema de Ehrenfest, la longitud De onda De De Broglie hipótesis, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg (para x y p), el impulso operador de ser el generador de la traducción del operador, y posiblemente muchos otros atractivos teoremas, y las correlaciones con la clásica impulso.

Pero ninguno de estos son postulados (al menos, no en los diversos formalismos he encontrado), por lo que no se puede derivar P = -iℏ ∂/∂x a partir de ellos. Más bien, son las consecuencias de la misma. Usted necesita saber el operador de antemano para ver de que son correctos. Sí, esto es sólo semántica, sino que es el meollo de la cuestión para mí:

Independientemente de lo mucho sentido lo que hace, es la identidad P = -iℏ ∂/∂x (bajo los supuestos hice) un Postulado, lo que significa que usted no puede derivar de otros postulados, o puede ser, de hecho, obtenida a partir de ellos? Y en el último caso, ¿podrías mostrarme cómo?

Nota: sé que hay muchos diferentes y equivalentes conjuntos de postulados para la gestión de calidad. Pero en ninguno de lo que vi hizo que el nombre es como un postulado ni correctamente derivados.

Answer 1

No puedo estar de acuerdo totalmente con @dmckee.

La primera es totalmente erróneo escribir algo como: $$\hat{P} = -i\hbar\partial /\partial x.$$ El modo correcto es escribir: $$\langle x|\hat{P}|\phi\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x|\phi\rangle,$$ y debe ser interpretada como el impulso del operador en la representación espacial.

Ahora, permítanme derivar para usted.

El significado físico detrás de impulso es que: 1. Es la conserva de la cantidad correspondiente a la traducción espacial de simetría. 2. Debido a 1, el impulso del operador (Hermitian) es el generador espacial de la traducción operador (unitario).

En términos de ecuaciones:

Definir la distribución espacial de la traducción operador $D(a)$ s.t. $$C|x+a \rangle = D(a)|x \rangle,$$ y: $$D(a) = e^{-ia\hat{p}/\hbar}$$

Supongo que usted no tiene ningún problema derivados de este.

Por favor, tenga en cuenta que esto solo depende de la condición de cuantización $[x,p] = i\hbar$, que es uno de los postulados de la mecánica cuántica.

Tomar una arbitraria del estado de $|\phi\rangle$ y se aplican $D(a)$ sobre ella: $$D(a)|\phi\rangle = \int D(a)|\phi\rangle |x\rangle \langle x|dx$$ Cambio de variable, RHS = $$\int C|x\rangle \langle x-a|\phi\rangle dx$$

Tome $a\to 0$, enchufe para RHS: $$\phi(x-a) = \phi(x) - a\frac{\partial}{\partial x}\phi(x)$$ y a LHS: $$D(a) = 1-ia\hat{p}/\hbar$$

usted puede recuperar $\langle x|\hat{P}|\phi\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x|\phi\rangle$

Answer 2

No hay ninguna derivación, pero no es un argumento heurístico.

Asumir que es de 1926 y Derby tiene sólo nos desafió a mostrarle la ecuación de onda que va con la de de Broglie "olas" (como lo hizo reto de Schrödinger). Esto significa que estamos trabajando en una ecuación de onda. Las soluciones deben ser de la forma (en una dimensión) $$ \Psi(x,t) = A e ^{i(kx - \omega t)} \,$$ donde $k = 2 \pi / \lambda$ es la onda-número y $\omega = 2 \pi / T$ es la frecuencia angular.

También queremos \begin{align*} p &= h/\lambda = \hbar k\\ E &= h f = \hbar \omega \end{align*} de acuerdo con de de Broglie y la viga ad hoc de los supuestos que están trabajando.

Pudimos notar (como supongo que Schrödinger hizo) que la distribución espacial y temporal de los derivados, que aparecen generalmente en una ecuación de onda nos dará factores de $k$ $\omega$ respectivamente (con algunos inconvenientes factores de $i$ colgando, pero sólo tenemos que vivir con eso.). Es decir, hemos decidido ir con \begin{align*} p &\mapsto \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \\ E &\mapsto -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t} \\ \end{align*}

Desde allí es sólo una cuestión de decir que para una partícula que se mueve en un potencial $V$ de la energía total (Hamiltonianos en muchos casos) es \begin{align*} E &= T + V \\ &= \frac{p^2}{2m} + V \;, \end{align*} Viendo esto como una derivada con respecto al tiempo y dos de los derivados con respecto al espacio y, a continuación, en la fijación de las constantes, podemos llegar a $$ \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right] \Psi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) \tag{TDSE}$$

Debo reiterar que esto no es de ninguna manera una prueba. Es una especie de prolongación de la plausibilidad de los argumentos. Y uno que, en lugar de cepas de la suspensión de la incredulidad, excepto que funciona.

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Tengo una más cuidadosamente construido versión de este argumento que me dan a mi la física moderna los estudiantes y las variaciones pueden encontrar en muchos lugares que son anteriores a mi versión.

Answer 3

El hecho de que $\hat{P} \to -i \hbar\, \partial / \partial x $ en la posición de base no es ni derivable ni un postulado, porque no siempre es verdad. La canónica de conmutación relación $[\hat{X}, \hat{P}] = i \hbar \hat{I}$ es considerado generalmente como un postulado, pero incluso si usted elige la representación $\hat{X} \to x$ en la posición de base, a continuación, el CCR permite una infinidad de representaciones de $\hat{P}$ de la forma $\hat{P} \to (-i \hbar\, \partial / \partial x) + f(x)$ para cualquier función de $f(x)$. La elección de la representación corresponde a un indicador de elección para la función de onda, y no afecta a las cantidades físicamente observables. Véase el Ejercicio 7.4.9 en pgs. 213-214 de Shankar para continuar el debate.

Answer 4

Sé que el impulso operador es P = -iℏ ∂/∂x.

Para estar seguro, es el impulso del operador en la posición de base. El impulso del operador en el impulso de las bases es $P = p$ en analogía con la posición del operador en la posición de base es $X = x$.

(Préstamo pesadamente de Brian Hatfield la "Teoría del Campo Cuántico de Partículas puntuales y Cadenas")

La clave es empezar con la relación de conmutación

$$[X,P] = i\hbar$$

Si $|x\rangle$ denota una posición eigenstate, entonces

$$X|x\rangle = x|x\rangle$$

y

$$\langle x|X|x'\rangle = x\,\delta(x - x^\prime)$$

es decir, que el operador $X$ es la diagonal en la posición de base. Buscamos

$$\langle x|P|x^\prime\rangle$$

Desde

$$\left[x, \frac{\partial}{\partial x}\right] = -1$$

de ello se desprende que el operador $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ sirve como representación de $P$ en esta base, y por lo tanto

$$\langle x|P|x^\prime\rangle = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\delta(x - x^\prime)$$

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Si el operador Hamiltoniano es

$$H = \frac{P^2}{2m} + V(X)$$

entonces

$$\langle x|H|x^\prime\rangle = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)\,\delta(x - x^\prime)$$

Ahora, la ecuación de Schrödinger es

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \langle x |\psi(t)\rangle = \langle x|H|\psi(t)\rangle$$

La inserción de la identidad

$$1 = \int\mathrm{d}x^\prime|x^\prime\rangle\langle x^\prime |$$

los rendimientos

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \langle x |\psi(t)\rangle = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)= \int \mathrm{d}x^\prime\langle x|H|x^\prime\rangle \langle x^\prime |\psi(t)\rangle = \int \mathrm{d}x^\prime\langle x|H|x^\prime\rangle \psi(x^\prime,t)$$

y por último, utilizando el resultado de la parte superior de esta sección,

$$\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) &= \int \mathrm{d}x'\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)\,\delta(x - x')\psi(x',t)\\ &= \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\right)\psi(x,t)\end{align}$$

Answer 5

Como una rápida extensión de las respuestas anteriores, permítanme repetir que ninguno de la mecánica cuántica es "derivado" de las anteriores teorías. Sí, hay muchas correspondencias que son bastante llamativos - cuantización canónica, la acción de las olas en Hamilton-Jacobi teoría, la ampliación de la deBroglie relación de dispersión (lo @dmckee estaba hablando), etc. - y muchas personas utilizan estos para motivar el desarrollo de la mecánica cuántica desde el punto de vista de la física clásica. Pero al final del día, la mecánica cuántica es el más fundamental de la teoría, por lo que se postula (ellos los llaman "los postulados de QM" por una razón :).

Este mensaje es moralmente idéntico a lo que Feynman destaca en este vídeo populares.