Comprender intuitivamente $\sum_{i=1}^ni={n+1\choose2}$

Question

Es sencillo mostrar que

$$\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}={n+1\choose2}$$

pero intuitivamente, esto es difícil de captar. ¿Debo entenderlo que coincidencia? ¿Por qué la suma de los primeros números de natural $n$ ¿cuenta el número de formas que puedo elegir un par de objetos de $n+1$? ¿Qué es la intuición detrás de esto?

Answer 1

Considere la posibilidad de un torneo con $n+1$ equipos cada uno jugando cada uno de los otros. Vamos a contar el número de partidos que se jugaron en dos maneras.

• Cada partido se juega entre dos equipos. Este inturn implica que el número de partidos es $\dbinom{n+1}2$.
• Ahora vamos a contar el número de los distintos partidos del equipo por equipo.
  • El número de partidos jugados por el primer equipo, se $n$.
  • El número de partidos jugados por el segundo equipo es $n-1$, desde su partido con el primer equipo ya se ha explicado.
  • El número de partidos jugados por el tercer equipo es $n-2$, ya que sus partidos con el primer y segundo equipo ya han sido contabilizados.
  • El número de partidos jugados por el $k^{th}$ equipo $n-k+1$, ya que sus partidos con el primer $k-1$ equipos ya han sido contabilizados. Por lo tanto, el número total de coincidencias es $$n+(n-1) + (n-2) + \cdots + 1$$

Answer 2

Supongamos que usted quiere elegir un subconjunto $\{m,n\}$ con dos elementos de la set $$ \{1,2,\dotsc,n+1\} $$ contar esto de dos maneras una de ellas naturalmente es igual a $\binom {n+1}2$ y por el otro observar que

Si $max\{m,n\}=2$ entonces tiene uno de los subconjuntos $\{m,n\}$.
Si $max\{m,n\}=3$ entonces tiene dos subconjuntos $\{m,n\}$.
$\vdots$
Si $max\{m,n\}=n+1$ entonces tiene $n$subconjuntos $\{m,n\}$.

Ahora se suman estos casos para obtener la identity.$\square$

Answer 3

La intuición es que para los pares pueden ser enumerados de la siguiente manera.

$$\begin{array}{ccccccc} 1,2 & & & & & & \\ 1,3 & 2,3 & & & & & \\ 1,4 & 2,4 & 3,4 & & & & \\ 1,5 & 2,5 & 3,5 & 4,5 & & & \\ 1,6 & 2,6 & 3,6 & 4,6 & 5,6 & & \\ 1,\vdots & 2,\vdots & 3,\vdots & 4,\vdots & 5,\vdots &\ddots & \\ 1,n+1 & 2,n+1 & 3,n+1 & 4,n+1 & 5,n+1 & \cdots & n,n+1 \\ \end{matriz} $$

Observe que cada fila tiene longitud $i$ $i=1,\ldots,n$ el número de pares con el elemento máximo $i+1$ $i$. Por lo tanto el número total de pares, que es $\binom{n+1}{2}$ es $\displaystyle \sum_{i=1}^n i$.

Answer 4

Esta es la clásica prueba sin palabras, a partir de https://maybemath.wordpress.com/

Eso no ayuda con esta parte de tu pregunta:

¿Por qué la suma de los primeros a $n$ números naturales a contar el número de cómo puedo elegir un par de $n+1$ objetos?

He aquí una manera de reformular @user17762 's excelente aceptado respuesta.

Imagine $n+1$ de los niños en una habitación. Cada uno da la mano con todos los demás. A continuación, cada niño se le da la mano $n$ de veces, así que hay $n(n+1)$ apretones de manos - cada contado dos veces. Usted puede recoger un par de niños (es decir, un apretón de manos) en $n(n+1)/2$ maneras. Pero también se puede pensar en los niños un apretón de manos al entrar en la habitación de una en una. El segundo hijo que viene tiene una mano a temblar. La tercera tiene dos, y así sucesivamente, para un total de $1 + 2 + \cdots + n$.

Answer 5

Si usted quiere elegir un par de $n+1$ objetos (por ejemplo, $\{0,1,\dots,n\}$), las posibilidades son:

$\{0,1\}$, $\{0,2\}$,..., $\{0,n\}$, dando posibilidades de $n$ %.

$\{1,2\}$, $\{1,3\}$,..., $\{1,n\}$ lo %#% posibilidades de #%. (tenga en cuenta que ya hemos recogido $n-1$, por lo que no podemos repetirlo aquí)

$\{1,0\}$, $\{2,3\}$,..., $\{2,4\}$ lo %#% posibilidades de #%.

$\{2,n\}$

$n-2$, $\ \ \ \ \vdots$ lo %#% posibilidades de #%.

$\{n-2,n-1\}$ % que de la posibilidad $\{n-2,n\}$.

Así que el número de pares es $2$