Continuidad de la función donde $f(x+y) = f(x)f(y) ~~\forall x, y \in \mathbb{R}$ .

Question

Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función que cumpla $f(x+y) = f(x)f(y) ~~\forall x, y \in \mathbb{R}$ es continua en $x=0$ es continua en todos los puntos de $\mathbb{R}$ .

Así que sabemos $\forall \epsilon > 0 ~~\exists \delta > 0$ tal que $|x-0|<\delta \implies |f(x)-f(0)|<\epsilon$ y queremos demostrar que dado cualquier $\epsilon > 0 ~~\exists \delta > 0$ tal que $|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

Ahora veo que el "truco" que podemos utilizar es sustituir $f(x)$ con $f(x)f(0)$ pero sigo sin poder terminar la prueba. ¿Algún consejo?

Answer 1

Para mostrar la continuidad en $x$ simplemente fíjate en eso:

$$\lvert f(x+h)-f(x)\rvert=\lvert f(x)f(h)-f(x)\rvert=\lvert f(x)\rvert\lvert f(h)-1\rvert$$

y observe que $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$ así que $f(0)=0$ o $f(0)=1$ . Así que $f$ es idénticamente $0$ y por tanto continua o utilizamos la continuidad en $x=0$ .

Answer 2

Elija cualquiera $x$ y $\varepsilon>0$ . Usted sabe que $f$ es continua en $t=0$ por lo que existe $\delta>0$ para lo cual $|0-y|<\delta \Rightarrow |f(0)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{|f(x)|} $ . Es $\delta$ es una buena elección de delta en la prueba estándar delta-epsilon, porque para $y$ que $|x-y|<\delta$ tienes( $|t|<\delta$ $y=t+x$ ):

$$|f(x)-f(y)|=|f(x+0)+f(x+t)|=|f(x)f(0)-f(x)f(t)|<\\<|f(x)||f(0)-f(t)|<|f(x)|\cdot \frac{\varepsilon}{|f(x)|}=\varepsilon$$ .

$\textbf{Edit:}$ Si $f(x)=0$ puede elegir, por ejemplo $\delta=1$ porque en este caso $|f(x)-f(y)|=|f(x)||f(0)-f(t)|=0$ .

Answer 3

$f(x_0+h)=f(x_0)f(h)$ como $f(h)\to f(0)$ ( $h\to 0$ ), entonces $f(x_0+h)=f(x_0)f(h)\to f(x_0)f(0)=f(x_0)$ .

Answer 4

Si $y$ está cerca de $x$ escribe $y = x + h$ para algunos pequeños $h$ . Entonces

\begin{align*} |f(y) - f(x)| &= |f(x + h) - f(x + 0)| \\ &= |f(x)| \cdot |f(h) - f(0)| \end{align*}

La primera parte de este producto es fija, y la segunda es pequeña. ¿Puede terminar desde aquí?