¿Lo que ' s la relación entre la función de $\psi$de % de Euler, la función digamma y la función hipergeométrica?

Question

Puede alguien ayudarme con el intermedio de los detalles de eqn. (2.5) en este papel?

Generalizada gravitacional de la entropía. Aitor Lewkowycz y Juan Maldacena. arXiv:1304.4926.

Es el de Euler $\psi$ función que aparece en la ecuación anterior de la misma como la función digamma?

Me parece que no puede averiguar la relación entre esta Euler $\psi$ función y la función hipergeométrica ${}_2F_1(a,b;c;z)$. Debe ser relacionado con la derivada de la función hipergeométrica pero no puedo averiguar exactamente cómo.

Answer 1

Euler $\psi$ función es exactamente la misma que la función digamma, $$\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.$$ (Para su uso como "Euler $\psi$ función" en la literatura, véase, por ejemplo, este papel.) Mientras que la función Gamma, la Pochhammer símbolos, y similares, son muy útiles en la construcción de las funciones hipergeométricas, no es posible expresar $\psi$ o $\Gamma$ como casos especiales de la hipergeométrica de la familia.

La función digamma es medianamente útil en la búsqueda de los derivados de la ${}_2F_1(a,b;c;z)$ con respecto a los parámetros de $a,b$$c$, a pesar de que: desde $${}_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}\frac{(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!},$$ diferenciando por $a$ puede reducir este a $$\frac{\partial}{\partial}{}_2F_1(a,b;c;z) =-\psi(a){}_2F_1(a,b;c;z) +\sum_{n=0}^\infty \psi(a+n) \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}.$$ No sé qué bueno que va a hacer usted, sin embargo.

En circunstancias normales, me remito a la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas, que sustituye a Abramowitz y Stegun, y en particular el capítulo 5. Por el momento, sin embargo, tendremos que conformarnos con la versión impresa.