¡Cumpleaños "Paradoja" - versión de otra, diferente!

Question

De fondo

Muchas personas están familiarizadas con la así llamada Cumpleaños "Paradoja" de que, en un cuarto de $23$ de la gente, hay una mejor que la $50/50$ de probabilidad de que dos de ellos comparten el mismo cumpleaños. En su forma más general para $n$ de las personas, la probabilidad de que no hay dos personas que comparten el mismo cumpleaños es $p(n) = \large\frac{365!}{365^n(365-n)!}$. Cálculos similares se utilizan para la comprensión de hash-tamaños de espacio, ataques criptográficos, etc.

La motivación

La razón para pedir la siguiente pregunta es en realidad relacionados con la comprensión de un determinado financiera en el comportamiento del mercado. Sin embargo, una variante de la "Paradoja de Cumpleaños" problema encaja perfectamente como una analogía, y es probable que sea de mayor interés a más personas con diferentes antecedentes. Mi pregunta es, por tanto, enmarcada a lo largo de las líneas de la conocida "Paradoja de Cumpleaños", pero con una diferencia, de la siguiente manera.

Situación

Hay un total de $60$ personas en una habitación. De estos, resulta que hay $11$ pares de personas que comparten la misma fecha de nacimiento, y dos triples (es decir, grupos de $3$ personas) que tienen el mismo cumpleaños. El resto de los $60 - 11\cdot2 - 2\cdot3 = 32$ de las personas tienen diferentes fechas de cumpleaños. Suponiendo una población en la que cualquier día es igualmente probable para un cumpleaños (es decir, ignorar Feb 29 y posibles efectos estacionales) y, dado que se especifica la distribución de los cumpleaños se mencionó anteriormente, el interrogador gustaría entender cómo es probable (o raro) es que estos $60$ personas que realmente fueron elegidos al azar. Sin embargo, no estoy seguro de si a la pregunta de que manera es realmente responsable. Cuando se me planteó esta pregunta en otro sitio (donde fue dejado sin respuesta), me fue de al menos aconsejado para volver a estado de la cuestión en una forma ligeramente diferente, como sigue a continuación.

Pregunta

Si $60$ personas son elegidas al azar de una población en la que cualquier día es igualmente probable que sea el cumpleaños de una persona, ¿cuál es la probabilidad de que no se $11$ días en que exactamente $2$ personas que comparten un cumpleaños, dos días en los que exactamente $3$ de ellos comparten un cumpleaños, y hay días en que $4$ o más de ellos comparten un cumpleaños?

Answer 1

Todo, en términos de los coeficientes binomiales, donde $\binom{n}{k}$ se interpreta como el número de combinaciones de $k$ elementos de una piscina de $n$:

$$\frac{\frac{\binom{60}{3}\binom{365}{1}\binom{57}{3}\binom{364}{1}}{2!}\cdot\frac{\binom{54}{2}\binom{363}{1}\binom{52}{2}\binom{362}{1}\cdots\binom{34}{2}\binom{353}{1}}{11!}\cdot\frac{\binom{32}{1}\binom{352}{1}\binom{31}{1}\binom{351}{1}\cdots\binom{1}{1}\binom{321}{1}}{32!}}{365^{60}}$$

El principal numerador cuenta las combinaciones que conducen a la condición de que usted describe. En primer lugar decidir sobre tres personas que tienen el mismo cumpleaños y decidir lo que el común de cumpleaños. A continuación, repita, pero dividir por $2!$ a cuenta para la duplicación de donde ABC-Ene1-DEF-Feb-1 se contó además DEF-Feb1-ABC-Ene1.

Hacer una modificación de este para los pares. Y, a continuación, para los singles.

Todo esto puede ser simplificado. Es bueno el uso de coeficientes multinomiales $\binom{n}{k_1;\;k_2;\;\ldots;\; k_r}=\frac{n!}{(k_1)!(k_2)!\cdots(k_r)!}$ donde se requiere que el $k_1+k_2+\cdots+k_r=n$. Supongo que esta línea siguiente sería el más inmediato generalizable a su aplicación real.

$$\frac{\binom{60}{\underbrace{3;\;3;}_2\;\underbrace{2;\;\cdots;\;2;}_{11}\;\underbrace{1;\;\cdots;\;1;}_{32}\; }\binom{365}{\underbrace{1;\;1;}_2\;\underbrace{1;\;\cdots;\;1;}_{11}\;\underbrace{1;\;\cdots;\;1;}_{32}\; 320}}{2!\cdot11!\cdot32!\cdot365^{60}}$$

Pero sólo en términos de factoriales y poderes, con baja factoriales evaluado y de uno o dos simplificaciones:

$$\frac{5\cdot59!\cdot364!}{3\cdot2^{12}\cdot320!\cdot(11!)\cdot(32!)\cdot365^{59}}$$

Y más simplificaciones, (sólo la comprobación de lo lejos que pueden ir de la mano---puede que haya errores a continuación.)

$$\frac{\left(59\cdot58\cdots34\right)\cdot\left(179\cdot178\cdots161\right)\cdot\overbrace{\left(361\cdot359\cdots323\right)}^{\mbox{odds}}\cdot362\cdot208\cdot121\cdot107}{365^{59}}$$

Answer 2

La respuesta es:

Answer 3

Creo que esto debería funcionar: primero vamos a calcular la probabilidad de que la gente entra en la habitación de una en una para formar una secuencia $T_1, T_2, D_1, D_2, \ldots, D_{11}, S_1, S_2, \ldots, S_{32}$ donde $T_i$ $i$th triplete de cumpleaños, $D_i$ $i$th doble, y $S_i$ $i$th singleton.

Para $T_1, T_2$, tendremos $(\frac{365}{365} \cdot \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365})(\frac{364}{365} \cdot \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365})$;

A continuación, para $D_1$ $D_{11}$tendremos $(\frac{363}{365}\cdot\frac{1}{365})(\frac{362}{365}\cdot\frac{1}{365})\cdots(\frac{353}{365}\cdot\frac{1}{365})$;

Y finalmente, para $S_1$ a $S_{32}$, $(\frac{352}{365})(\frac{351}{365})\cdots(\frac{321}{365})$.

La multiplicación de estos produce $\frac{365!}{365^{60}320!}$. Pero ahora contabilidad para las diferentes formas en que la gente podría haber entrado en la habitación, es decir,$\frac{60!}{3!3!\underbrace{2!2!\cdots2!}_{11}}$, y teniendo en cuenta el hecho de que podemos permutar las triples, dobles y los embarazos únicos, tenemos una probabilidad de

$$\frac{365!}{365^{60}320!}\frac{60!}{3!^22^{11}}\frac{1}{2!11!32!}.$$

Esto equivale a alrededor de $4.665 \times 10^{-6}$.