¿Cuántas formas de dividir el grupo de 12 personas en 2 grupos de 3 personas y 3 grupos de 2 personas?

Question

¿Cuántas formas de dividir el grupo de 12 personas en 2 grupos de 3 personas y 3 grupos de 2 personas?

mi respuesta a esta pregunta es: $$ {12 \choose 2}{ 10 \choose2 }{8 \choose2 }{6 \choose3 }{3 \choose3 } \frac {1}{2!2!2!} \frac {1}{3!3!} $$

Aunque la solución correcta debería ser..: $$ {12 \choose 2}{ 10 \choose2 }{8 \choose2 }{6 \choose3 }{3 \choose3 } \frac {1}{2!} \frac {1}{3!} $$ ¿Qué me estoy perdiendo aquí? Si tengo 2 grupos de 3, y 3 grupos de 2, ¿no debería dividir cada uno por su factorial para cancelar el orden interno del grupo?

Answer 1

El hecho de que el orden no importa en un grupo ya se encarga de los coeficientes binomiales. Los coeficientes adicionales $2!$ y $3!$ que se ve en la respuesta están atendiendo al hecho de que el orden en que se grupos propios fueron elegidos tampoco importa.

Por ejemplo, si sus grupos de dos personas son $\{A, B\}$ , $\{C, D\}$ y $\{E, F\}$ Entonces los siguientes arreglos son todos iguales:

$\{A, B\}$ , $\{C, D\}$ , $\{E, F\}$

$\{A, B\}$ , $\{E, F\}$ , $\{C, D\}$

$\{C, D\}$ , $\{A, B\}$ , $\{E, F\}$

$\{C, D\}$ , $\{E, F\}$ , $\{A, B\}$

$\{E, F\}$ , $\{A, B\}$ , $\{C, D\}$

$\{E, F\}$ , $\{C, D\}$ , $\{A, B\}$

Observe que hay $3!$ tales acuerdos. Sin embargo, cuando sólo se multiplican los coeficientes del binomio, todos ellos se cuentan como distintos. Dividiendo por $3!$ los agrupa a todos en una sola disposición.

Para dar otro ejemplo con una mejor selección de números, supongamos que se quiere organizar a 6 personas en tres grupos de dos cada uno. Esto vendría dado por $$ \frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{3!}. $$ De nuevo, el $3!$ viene del número de los grupos, no su tamaño.

Answer 2

Cuando se eligen continuamente los objetos de lo mismo grupo, puede probablemente permutarlas. Por ejemplo, considere la fórmula de su pregunta:

$$\binom{6}{3}\binom{3}{3}.$$

Para cualquier un resultado determinado, digamos $\{A,B,C\}\{D,E,F\}$ A partir de esta fórmula, todas las demás permutaciones (en este caso sólo $\{D,E,F\}\{A,B,C\}$ ) existe. Así que en realidad los estás permutando. Como en tu pregunta significan lo mismo, tienes que dividirlo por $2!$ .

es decir ambos son del mismo tamaño y son elegidos del mismo grupo, por lo que en realidad los permutamos. Por lo tanto, no tenemos que considerar la repetición para $\binom{6}{4}\binom{2}{2}$ y $\binom{2}{1}\binom{2}{1}$ (que es el caso de elegir una manzana entre dos frutas y una naranja entre dos frutas).

Answer 3

El número de formas de elegir r objetos de una colección de n, $^nC_r$ es $\frac{n!}{r!(1-r)!}$ Hay $^{12}C_6$ maneras de dividir en 2 grupos de 6. Luego $^6C_3$ formas de dividir un grupo de 6 en 2 grupos de 3, $^6C_2$ formas de dividir en un 2 y un 4 y $^4C_2$ formas de dividir cada 4 en 2, pero entonces 15 de las posibilidades serían idénticas. Así que es $$\frac{^{12}C_6\times2\times^6C_3\times^6C_2\times^4C_2}{3} = \frac{2\times12!\times6!\times6!\times4!}{3\times6!\times6!\times3!\times2!\times2!}=\frac{12!\times4!}{3\times2!}=\frac{4\times12!}{5}$$