Péndulo que se mueve más rápido que la velocidad de la luz

Question

En la mecánica clásica, el período de $T$ de un péndulo está dada por $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$ where $g$ is the gravitational field and $$ l la longitud de la cuerda de fijar el bob en el pivote. La fórmula sólo es válida para ángulos pequeños, lo sé. Pero vamos a ignorar que, por el momento.

Desde el período de sólo depende de $l$, su velocidad se ajustará de tal manera que puede cubrir la amplitud de la $A$ (tomado como el total de la longitud de arco cubierto en un ciclo) en $T$. En otras palabras, cuando el péndulo se suelta de la velocidad de la $v$ será tal que $$\int_0^T v(t)\,dt = A.$$

Ahora: seguramente puedo encontrar una $l$ e una $A$ de manera tal que la velocidad del péndulo, en algunos $t$, es mayor que $c$, la velocidad de la luz.

Supongo que la solución a esta "paradoja" es que sólo estamos tratando con la mecánica clásica. Pero, ¿cómo podemos ir en sobre la configuración de la totalidad, relativista solución?

Answer 1

Para simplificar un poco las cosas suponer pequeñas oscilaciones y un punto de masa. El relativista de Lagrange para el 1-dimensional caso es $$L = -\frac{mc^2}\gamma - \frac12kx^2.$$ La ecuación de movimiento resulta ser $$\ddot x + \frac13\frac1{c^2-\dot x^2}\frac{\text d}{\text dt}\dot x^3 + \frac{\omega^2}\gamma x=0,$$ donde $\omega^2 = \tfrac km$. Realmente no he tratado de resolver este (ni siquiera estoy seguro de que este puede ser resuelto analíticamente), pero se puede dar una interpretación de los términos involucrados. La primera, junto con la tercera son una reminiscencia de los clásicos del movimiento armónico, sólo que ahora la frecuencia, por lo tanto el período, dependen de la velocidad a través de $\gamma$. El medio plazo puede ser interpretado como una amortiguación plazo. Como la velocidad se aproxima a la de la luz esta amortiguación plazo se bifurca y podemos hacer sentido de esto, ya que el postulado de que un cuerpo masivo no puede viajar a la velocidad de la luz o más rápido. El no límite relativista se logra exigiendo $|\dot x|\ll c$, donde la amortiguación plazo es insignificante, $\gamma\approx 1$ y por lo tanto la ecuación se reduce a $$\ddot x + \omega^2x=0,$$ es decir, la clásica SHM.

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Las dos parcelas en Wolfram Alpha con $c=\omega = 1$ son los de un péndulo en reposo con el desplazamiento 1 desde el equilibrio y el de un péndulo en equilibrio con una velocidad inicial de la de la luz, respectivamente. En el primer caso las oscilaciones aparece, mientras que en el segundo, el movimiento es de velocidad constante ($\dot x(t)=1$ en cualquier momento $t$) como se esperaba.

Answer 2

• No hay tal cosa como cuerpo rígido en el mundo real, así como en la teoría de la relatividad especial. Por lo tanto un gran péndulo es imposible.
• Para una cadena, Dada la inercia del péndulo tiene, pequeña oscilación es imposible.
• Por muy grande de la cadena, depende de lo grande que es, la relatividad especial se define en pequeña escala, en una muy grande (~borde del universo observable) de la escala, que no está bien definido, uno no debe ser sorprendido incluso si es más rápido que la velocidad de la luz.

En suma: en una bonita escala (muy aproximadamente del tamaño de un átomo hasta la galaxia, no estoy exactamente segura), el argumento de más rápido que la luz no de pie, ya que no hay sonido razones para apoyar el periodo de $T\propto l^{\frac {1}{2}}$

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1.) Incluso si se bloquea por una cadena, entonces período seguramente se verá completamente diferente, así, como de alta velocidad de alto impulso, el movimiento debe venir con un ángulo mayor, de ahí el pequeño ángulo de aproximación se rompe.

2.) Sin embargo, una manera de resolverlo "lógicamente" es asumir la $l$ será más corto que oscila, pero personalmente no veo ninguna manera factible para probar experimentalmente (tal vez usted tendrá que hacer el correo óptica, si quieres hacer experimento sobre ella).

3.) Personalmente, creo que es más interesante preguntarse qué sucedería si hacemos el experimento con un haz de luz en lugar de péndulo .

Answer 3

Hay dos razones importantes por las que esto es imposible. Por un lado, resulta poco práctico. La fuerza gravitacional tendría que ser tan extrema que romper el material utilizado para la cuerda, o la longitud sería tan largo que es en virtud de una más débil y más débil la fuerza de la gravedad a medida que se va alejando.

Incluso si usted tenía una cuerda irrompible y de una enorme masa muy cerca por que no destruye el péndulo con su gravedad, todavía hay un problema. La masa en el extremo de la cuerda nunca se mueven más rápido que la velocidad de la luz. Iba a acercarse a la velocidad de la luz, mientras observa su movimiento. Pero, en lugar de acelerar a la velocidad a la que sería de esperar, en lugar de su masa comienza a crecer y así la aceleración de la masa que sólo los hace ir un poco más rápido. De hecho, a medida que se aproxima a la velocidad de la luz su masa va hacia el infinito.