¿$(B_{t}+t)^{2}$ Un proceso de Markov?

Question

Que $B_{t}$ sea un movimiento browniano con respecto a una filtración $F_{t}$, es un proceso de Markov de $(B_{t}+t)^{2}$? ¡Gracias!

Answer 1

Hay dos posibles filtraciones de aquí, el original de filtración $\mathcal{F}_t$ generado por el movimiento Browniano y la generada por el proceso de $X$, lo que voy a denotar por $\mathcal{F}^X_t$. Por lo tanto, hay dos maneras de interpretar esta pregunta, (i) es $X$ Markov con respecto a $\mathcal{F}_t$, y (ii) es $X$ Markov con respecto a su propia filtración $\mathcal{F}^X_t$? Como era de esperar, la respuesta a (i) no es, $X$ no está de Markov. Para ver esto, es sencillo calcular $\mathbb{E}[X_t\vert\mathcal{F}_s]$ veces $s < t$, y se obtiene $$ \mathbb{E}[X_t\vert\mathcal{F}_s]=(B_s+t)^2+t-s=X_s + 2(t-s)B_s +(t-s)^2+t-s. $$ Debido a la dependencia de la $B_s$, que no está unívocamente determinada por $X_s$, esta no es una función de $X_s$, por lo que el proceso no es de Markov (que es de Byron punto en su respuesta).

La segunda pregunta (ii) es un poco más difícil, ya que el cómputo de la distribución de $X_t$ condicionado a $\mathcal{F}^X_s$ es complicado. El, quizás sorprendente, la respuesta a (ii), es que sí, $X$ es de Markov con respecto a su propia filtración! Para probar esto, es necesario demostrar que las $\mathbb{E}[f(X_t)\mid\mathcal{F}^X_s]$ es una función de $X_s$ (para los tiempos de $s < t$ y acotado medible función de $f$). Como un primer paso, tenga en cuenta que, como el movimiento Browniano $B$ es de Markov, $\mathbb{E}[f(X_t)\mid\mathcal{F}_s]=g(B_s)$ para una función medible $g$. Aplicar la torre de la ley para la condicional expectativas, $$ \mathbb{E}[f(X_t)\mid\mathcal{F}^X_s]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[f(X_t)\mid\mathcal{F}_s]\mid\mathcal{F}^X_s]=\mathbb{E}[g(B_s)\mid\mathcal{F}^X_s]. $$ Así, para mostrar que $X$ es de Markov en virtud de su propia filtración sólo tenemos que demostrar que la distribución de $B_s$ condicionado a $\mathcal{F}^X_s$ sólo depende de $X_s$. También, dado $X_s$ $B_s$ sólo pueden tomar uno de dos posibles valores de $-s\pm\sqrt{X_s}$. Tenemos que mostrar que la probabilidad de que estas dos posibilidades no dependen de la historia de la $X$. Hay dos formas principales en que puedo pensar de mostrar esto.

Directo De Cálculo

Podemos calcular directamente la distribución de $B_s$ condicionado a $\mathcal{F}^X_s$ rompiendo el intervalo de tiempo $[0,s]$ a $n$ pasos discretos, lo que permite que se calcula como un cociente de funciones de densidad de probabilidad, a continuación, tomar el límite de $n\to\infty$. Escrito $h=s/n$$\delta w_k\equiv w_k-w_{k-1}$, la función de densidad de probabilidad de $\hat B\equiv(B_{h},B_{2h},\ldots,B_{nh})$ puede ser escrito a cabo mediante la aplicación de los independientes de Gauss incrementos de la propiedad como $$ p(w)=(2\pi h)^{-\frac{n}{2}}\exp\left(\frac{-1}{2h}\sum_{k=1}^n(\delta w_k)^2\right). $$ La distribución de $B_s$ condicional en $\hat X\equiv(X_h,X_{2h},\cdots,X_{nh})$ es simplemente dada por una relación de las sumas de la función de densidad de probabilidad $p$, $$ \mathbb{P}\left(B_s=-s+\sqrt{X_s}\;\Big\vert\;\hat X\right)=\frac{\sum_{w\P}p(w)}{\sum_{w\P}p(w)+\sum_{w\P^\prime}p(w)}. $$ Aquí, $P$ es el conjunto de diferentes caminos para $\hat B$ estaba de acuerdo con los valores de $X$ y terminando en $-s+\sqrt{X_s}$. A continuación, $P^\prime$ es el conjunto similar de caminos que terminan en $-s-\sqrt{X_s}$. Si, como $w$ se ejecuta a través de $P$, podemos establecer $w^\prime_k\equiv-2kh-w_k$, entonces se puede ver que $w^\prime$ se ejecuta a través de $P^\prime$. Por lo $\delta w^\prime_k=-2h-\delta w_k$ y, $$ \begin{align} \sum_{w\in P^\prime}p(w)&=\sum_{w\in P}p(w^\prime)=\sum_{w\in P}(2\pi h)^{-\frac{n}{2}}\exp\left(\frac{-1}{2h}\sum_{k=1}^n(-2h-\delta w_k)^2\right)\\ &=\sum_{w\in P}p(w)\exp\left(-2nh-2w_n\right) \end{align} $$ Como $2nh+2w_n=2\sqrt{X_s}$, esto puede ser enchufado en la expresión de arriba, $$ \mathbb{P}\left(B_s=-s+\sqrt{X_s}\;\Big\vert\;\hat X\right)=\frac{1}{1+e^{-2\sqrt{X_s}}}. $$ Esto solo depende de $X_s$ y, dejando $n$ ir hasta el infinito, esta expresión tiene también para la probabilidad condicionada a $\mathcal{F}^X_s$.

Girsanov Transformaciones

La teoría de Girsanov transformaciones nos dice que, la definición de $U=\exp(-B_s-\frac12s)$ y la nueva medida $\mathbb{Q}=U\cdot\mathbb{P}$, $\tilde B_u\equiv B_u+u$ es un estándar $\mathbb{Q}$-movimiento Browniano en el intervalo de $[0,s]$. También escribo $V=U^{-1}=\exp(\tilde B_s-\frac12s)$, por lo que el $\mathbb{P}=V\cdot\mathbb{Q}$. En virtud de la medida $\mathbb{Q}$, simetría, reflejando el movimiento Browniano sobre cero muestra que $\tilde B_s$ toma los valores de $\pm\sqrt{X_s}$ cada uno con probabilidad 1/2, cuando acondicionado en $\mathcal{F}^X_s$. La esperanza condicional en virtud de la $\mathbb{P}$ medida puede ser convertida a una esperanza condicional bajo $\mathbb{Q}$, $$ \begin{align} \mathbb{E}[g(B_s)\mid\mathcal{F}^X_s]&=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[Vg(-s+\tilde B_s)\mid\mathcal{F}^X_s]/\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[V\mid\mathcal{F}^X_s]\\ &=\left(e^{\sqrt{X_s}}g(-s+\sqrt{X_s})+e^{-\sqrt{X_s}}g(-s-\sqrt{X_s})\right)/(e^{\sqrt{X_s}}+e^{-\sqrt{X}_s}) \end{align} $$ Esta es una función de $X_s$, lo $X$ es de Markov. Este método funciona porque el cambio de la medida de "agregar" un constrant deriva a un movimiento Browniano sólo depende del valor de la el proceso, al final del intervalo de tiempo, y de lo contrario es independiente de la trayectoria tomada.

Answer 2

Sugerencia: Si el proceso fuera Markov, $0< s\leq t$ tendríamos $$\mathbb{E}((B_t+t)^2 | F_s) = P_{s,t}((B_s+s)^2).$ $

Calcular la expectativa condicional a la izquierda y tratar de escribir como una función de $(B_s+s)^2$.