¿Cómo se deriva la ecuación de la velocidad del sonido?

Question

En mis libros de acústica veo

$$c^2 = \frac { \mathrm {d}P}{ \mathrm {d} \rho }$$

donde $c$ es la velocidad del sonido, $P$ es la presión y $ \rho $ es la densidad. ¿De dónde viene esta ecuación? En mis libros aparece casi como una definición. ¿Podría explicar esto, o al menos señalarme un artículo o un libro que aborde esta cuestión? Gracias.

Answer 1

Esta derivación es a menudo descuidada, porque está ligeramente involucrada (para una presentación no graduada) en la forma de pensar de Newton, con fuerzas explícitas, aunque así lo hizo Newton, y es un poco demasiado trivial si se usan conceptos de tensor de tensión. Usaré el concepto de tensor de tensión.

El ímpetu es una cantidad conservada, y deberías estar familiarizado con la ley de conservación en forma diferencial:

$$ \partial_t \rho + \partial_i J^i = 0 $$

Donde se suma el índice i repetido (convención de Einstein). Esto es más claro en el espacio-tiempo, donde la densidad $ \rho $ se convierte en el componente temporal de un 4-vector, pero es igual de cierto en la mecánica galilea newtoniana.

Para el impulso, tienes tres densidades de impulso conservadas por separado $p^i$ que obedecen a una ley de conservación:

$$ \partial_t p^j + \partial_i T^{ij} = 0 $$

Cuando la interpretación de $T^{ij}$ es que es el flujo del componente i'th de p en la dirección j. Hay tres ecuaciones, ya que hay tres cantidades separadas conservadas el momento x,y,z.

Si comprimes una región de aire, obtienes un poco más de presión. La forma de presión es una densidad de tensión diagonal, por simetría rotacional (también es intuitiva--- la presión es empujada hacia afuera--- así que x-momento va en la dirección x, y-momento va en la dirección y y así sucesivamente).

La tensión T para una presión es por lo tanto

$$ T^{ij} = P( \rho ) \delta ^{ij} $$

Si el material comienza en la posición x (en cada x hay un volumen infinitesimal diferente de material) y el material que estaría en x cuando todo está quieto se mueve en el tiempo t a x+ \delta X(x,t), entonces la densidad del momento es

$$ p^{i} = \rho { \partial_t X(x,t)}$$

Suponiendo que $ \rho = \rho_0 (1 - \delta v)$ donde la compresión del volumen infinitesimal, que da el cambio de la densidad, viene dada por la divergencia de X (esto está geométricamente claro si se hace un dibujo, o sólo a partir de la definición de divergencia)

$$ \delta v = \partial_j X^j $$

Al principio en orden infinitesimal, luego la presión es

$$ P ( \rho ) = P( \rho_0 ) - C \delta v = P( \rho_0 ) - C \partial_i X^i $$

Donde $ C= {dP \over d \rho }$

Ahora, por conveniencia matemática (no quiero tratar con el sonido transversal), considera la posibilidad de reducirlo a una dimensión. En este caso X(x) es sólo una función unidimensional que te dice el desplazamiento, y la tensión es sólo $T^{11} = \rho_0 \partial_x X$ (el flujo de x-momento en la dirección x).

La ecuación de continuidad en 1d te da

$$ \rho_0 \partial ^2_t X - \rho_0 C \partial ^2_x X = 0 $$

Y esta es la ecuación de onda con la velocidad del sonido al cuadrado igual a C. Puedes repetir el análisis 1d con fuerzas detalladas, sin usar la ecuación de continuidad ligeramente más abstracta, y esto es lo que Newton hizo para encontrar la velocidad del sonido hace mucho tiempo.

Para ver que la ecuación unidimensional de arriba describe ondas que se mueven con una velocidad $ \pm \sqrt {C}$ considerar la forma funcional de tal onda que se mueve con velocidad c:

$$ \phi (x,t) = f(x-ct) $$

donde f es una función de una variable dependiente. Diferenciar dos veces en el tiempo

$$ \partial ^2_t \phi = c^2 f'' $$

y dos veces en el espacio:

$$ \partial ^2_x \phi = f'' $$

y ves que satisface la ecuación de la onda:

$$ \partial ^2_t \phi - c^2 \partial ^2_x \phi = 0 $$

La solución general de la ecuación 1d puede expresarse como la suma de una onda que se mueve a la izquierda y otra que se mueve a la derecha. Esto puede ser usado para coincidir con cualquier condición inicial de $ \phi $ y $ \partial_t\phi $ y por lo tanto es la forma general. Se puede derivar la solución general de una teoría general sistemática usando transformaciones de Fourier, considerando las ondas planas.