Mostrar que no existe una función continua que tome cada uno de sus valores $ f(x) $ exactamente dos veces.

Question

Necesito probar lo siguiente:

No existe una función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ que tome cada uno de sus valores $f(x)$, $x\in [a,b]$ exactamente dos veces.

Primero que nada, no entendí la pregunta. Por ejemplo, $x^2$ toma $1$ dos veces, en el intervalo $[-1,1]$. ¿Está diciendo que esto no ocurre para todos los $x$ en el intervalo? ¿Pero qué pasa con $f(x) = c$? ¿Está diciendo que esto no ocurre exactamente $2$ veces, entonces? No tengo idea de cómo probarlo. Sé que para $f(x)$ tal que $f(a)

Ahora, hay una prueba en mi libro y realmente quiero entenderla en lugar de solo obtener una nueva prueba

Dado que el intervalo $[a,b]$ tiene solo $2$ puntos extremos, entonces el máximo o mínimo de $f$ debe estar en un punto $c\in int([a,b])$ y en otro punto $d\in [a,b]$. Entonces, existe $\delta>0$ tal que en los intervalos $[c-\delta, c), (c,c+\delta)$ (y si $d$ no es extremo de $[a,b]$, $[d-\delta, d]$) la función toma valores que son menores que $f(c) = f(d)$. Sea $A$ el mayor de los números $f(c-\delta), f(c+\delta), f(d-\delta)$. Por el teorema del valor intermedio, existen $x\in [c-\delta, c), y\in (c, c+\delta]$ y $z\in [d-\delta, d)$ tales que $f(x)=f(y)=f(z)=A$. Contradicción.

Bueno, ¿por qué la última parte? ¿Por qué puedo aplicar el teorema del valor intermedio a estos valores? Por ejemplo, si $f(c-\delta)

Answer 1

Anteriormente había vinculado mi pregunta con la tuya y se cerró como duplicada. Pero no estás tan interesado en conocer una demostración del resultado, sino que estás interesado en comprender la demostración dada en tu libro de texto. La siguiente respuesta es una explicación de la demostración dada en tu libro de texto.

La solución dada en tu libro de texto es muy concisa y no da todos los detalles. Dado que $f$ es continua en $[a, b]$, su rango también es un intervalo cerrado $[m, M]$. La solución asume que $m < M$, de lo contrario $f$ es una constante y no cumple con las hipótesis de la pregunta.

Luego dice que el valor $M$ se toma en dos puntos distintos $c, d$ y dice que uno de ellos, digamos $c \in (a, b)$ y $d \in [a, b]$. Sin embargo, es posible que tanto $c$ como $d$ sean extremos de $[a, b]$. Esto no se menciona ni se considera en la solución. De todos modos, procediendo con la solución del libro de texto, sea $c \in (a, b), d \in [a, b]$ y $f(c) = f(d) = M$. Además, $f(x) < M$ para todo $x \in [a, b]$, $x \neq c, x \neq d$.

Luego, la solución propone la existencia de $\delta > 0$ tal que $f(x) < M$ para todo $x \in [c - \delta, c) \cup (c, c + \delta)$. Además, si $d \neq a$, entonces también tenemos que $f(x) < M$ para todo $x \in [d - \delta, d)$ (hay un error tipográfico en la solución donde escribe $[d - \delta, d]$ en lugar de $[d - \delta, d)$). Todas estas afirmaciones son verdaderas por la última oración del párrafo anterior. Y note que la solución no maneja el caso $d = a. Ahora considera $$A = \max(f(c - \delta), f(c + \delta), f(d - \delta))$$ Por cierto, de estos valores $f(c - \delta), f(c + \delta), f(d - \delta)$ como máximo dos pueden ser iguales. Si $B$ es el mínimo de estos valores, entonces $B < A < M$ y así, por el teorema del valor intermedio, $A$ se alcanza una vez en cada uno de los tres intervalos $[c - \delta, c], [c, c + \delta]$ y $[d - \delta, d]$ y por lo tanto, $f$ toma el valor $A$ en tres puntos distintos $x, y, z$. Que estos tres puntos sean distintos se deduce del hecho de que $\delta$ se puede elegir de modo que $(c - \delta), (c, c + \delta)$ y $(d - \delta, d)$ sean mutuamente disjuntos. Esto va en contra de las hipótesis en la pregunta. Esto completa la demostración.

La solución necesita abordar los dos casos que quedan fuera:

• El caso en que $c, d$ son ambos los extremos de $[a, b]$.
• El caso en que $d = a$ y $c \in (a, b)$. Aquí consideramos $[d, d + \delta]$ y argumentamos como la solución de tu libro de texto.

Para el primer caso en el que $c, d$ son extremos, de modo que por ejemplo $c = a, d = b$, necesariamente debemos considerar los puntos $p, q \in (a, b), p < q$ donde $f$ toma el valor mínimo $m$. Así que tenemos $f(p) = f(q) = m < M = f(a) = f(b)$. Además, todos los valores de $f$ en $(p, q)$ son mayores que $m$ y, por lo tanto, si $M'$ es el valor máximo de $f$ en $[p, q]$, entonces $m < M' < M$. Y supongamos que $M'$ se alcanza en $r \in (p, q)$. Sea $K$ cualquier número tal que $m < K < M' < M$. Entonces, por el teorema del valor intermedio, $f$ toma el valor $K$ una vez en cada uno de los intervalos $(a, p), (p, r), (r, q), (q, b)$ y esto contradice las hipótesis.

Answer 2

Supongamos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ toma cada uno de sus valores exactamente dos veces. Consideremos el auto-mapa FLIP del intervalo $[0,1]$ intercambiando los dos puntos donde los valores de la función son iguales. Este FLIP es un mapa continuo sin puntos fijos. Pero cualquier auto-mapa del intervalo cerrado debe tener un punto fijo por (el caso trivial unidimensional de) el teorema del punto fijo de Brouwer. Esto demuestra que no existe tal función $f$.

Answer 3

Pista: no es necesario utilizar continuidad, solo la propiedad de Darboux (valor intermedio). Observa el valor mínimo y máximo de $f$ en el intervalo.

Observa que tienen que ser distintos (de lo contrario, es claramente falso), y luego considera la ubicación relativa de los cuatro puntos donde se alcanzan los valores extremos, y utilizando la propiedad de Darboux, argumenta que en cada caso, algunos valores se alcanzarán al menos tres veces.

Answer 4

Dada tal función, $[a,b]$ se divide en un número incontable de pares $\{x_1,x_2\}$ con $f(x_1)=f(x_2)$. ¿Pueden dos pares $\{x_1,x_2\}$ y $\{x_3,x_4\}$ superponerse? En tal caso tendríamos sin pérdida de generalidad $x_1. Elige $c$ entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$. Por la propiedad del valor intermedio, existe $\xi\in(x_1,x_3)$ con $f(\xi)=c$. Pero tal $\xi$ también existe en $(x_3,x_2)$ y en $(x_2,x_4)$, contradiciendo la propiedad especial de $f$. Concluimos que dos pares distintos $\{x_1,x_2\}$ y $\{x_3,x_4\}$ solo pueden estar anidados. Luego, la intersección de los intervalos cerrados anidados con estos pares como puntos finales no está vacía y contiene un punto $\bar x_1$ que no puede estar en un par $\{\bar x_1,\bar x_2\}$.

Answer 5

Creo que la forma siguiente puede ser más simple.

La traducción de la función no cambia la generalidad. Entonces asumamos que al traducir f(x) lo hacemos cruzar el eje $x$. Denotémoslo por $\tilde f$

Por la hipótesis, $\exists x_1,x_2\in \mathbb R$ tal que $\tilde f(x_1)=0=\tilde f(x_2)$ con $x_1. Además, no existe otro punto $x\in\mathbb R$ tal que $\tilde f(x)=0$.

Entonces o bien $\tilde f\le 0$ o $\tilde f\ge 0$ en $[x_1,x_2]$ según el teorema del valor extremo $\tilde f$ toma uno de sus valores extremos en el interior de $[x_1,x_2]$, de acuerdo con su signo. Y es único, por lo que llegamos a una contradicción.

¿Por qué uno de los extremos en $[x_1,x_2]$ es único?

i) Geométricamente por inducción: Si trazáramos líneas horizontales desde el eje $x$ dado que la hipótesis establece que la gráfica debe intersectarse con estas líneas exactamente dos veces, hasta llegar al máximo o mínimo, podría no haber problema, pero en estos extremos la línea horizontal solo puede intersectarse una vez. (Esta explicación es puramente intuitiva, ver la figura abajo)

ii) Más formalmente (enfatizamos la idea de manera formal para explicarla con más detalle), sin pérdida de generalidad, asumimos que $\tilde f\ge 0$ y que tenemos un mínimo en los límites, denotamos el primer máximo como $c_1$. Asumamos que tenemos otro máximo en $x=c_2$. Dado que $\tilde f$ es continua en $c_1,c_2$ existen dos vecindarios cerrados $\delta_1,\delta_2$, ahora consideremos $\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}$. Observamos que $\tilde f(\delta_{c_1})=[c^{*}_1, \tilde f(c_1)=M]$ y $\tilde f(\delta_{c_2})=[c^{*}_2,\tilde f(c_2)=M]$

Entonces en el intervalo cerrado del eje $y$ $[min\{c^{*}_1,c^{*}_2\},M]$ cada punto corresponde a $4$ valores diferentes en el eje $x$.

Editar: Sobre la interpretación geométrica de la unicidad de uno de los extremos.