¿Se utiliza alguna vez en matemáticas la "imposición" de una función sobre otra?

Question

Antes que nada, permítanme definir lo que entiendo por "imposición" y dejar claro que solo he estudiado esta operación en el espacio euclidiano 2D. Entonces, para imponer una función sobre otra, necesitas dos cosas:

• Una función sobre la cual imponer, llamada receptor.
• Una función a imponer, llamada impositor.

Ahora, permítanme explicar el concepto en general. La idea es que, en lugar de graficar alguna función con respecto al eje x, tratamos al receptor como el eje x, graficando el impositor con respecto al receptor.

Entonces, ¿qué quiero decir con "graficar alguna función con respecto al eje x?" Bueno, primero permitimos que $p_0$ sea el punto sobre el eje x en algún $x$, y permitimos que $l$ sea la línea que es normal al eje x en $p_0$. Debería ser claro que $p_0=(x,0)$ y que $l$ es una línea vertical que pasa por $p_0$. Entonces, para alguna función $g$, permitimos que $p_1$ sea el punto en $l$ cuya distancia es igual a $g(x)$. Debería ser claro que $p_1=(x,g(x))$ ya que la distancia desde $(x,0)$ hasta $(x,g(x))$ es igual a $g(x)$. Si realizas el procedimiento anterior para todos los $x$ y marcas cada $p_1$ en un gráfico, habrás graficado exitosamente $g$ con respecto al eje x.

Entonces, para reiterar mi segundo párrafo, la idea es que podemos graficar cualquier función con respecto a alguna otra función. La forma en que lo hacemos es siguiendo el mismo procedimiento que usamos en el párrafo anterior. Sin embargo, hay dos diferencias principales:

• En lugar de permitir que $p_0$ sea el punto en el eje x en algún $x$, permitimos que $p_0$ sea el punto en alguna función paramétrica $f(t)$, el receptor, para algún $t$.
• En lugar de permitir que $l$ sea la línea que es normal al eje x en $p_0$, permitimos que $l$ sea la línea que es normal a $f$, el receptor, en $p_0$.

Por ejemplo, esto es $g(t)=cos(t)$, el impositor, impuesto sobre $f(t)=(t,a \cdot sin(t))$, el receptor, donde $a$ es simplemente un valor real que oscila entre $-1$ y $1$ con el tiempo. Básicamente, $a$ es la razón por la que las funciones a continuación se mueven.

La función negra que se asemeja a una onda estacionaria, como mencioné antes, es una función seno oscilante, y también es el receptor. La función azul que, si te fijas bien, ocasionalmente se asemeja a una función coseno es la función resultante de imponer $g(t)$ sobre $f(t)$. Los segmentos de línea verde son para ilustrar el acto de encontrar el punto en la normal de $f(t)$ en $t$ con una distancia de $g(t)$, como cubrimos en los párrafos anteriores.

Si estás interesado, aquí está la matemática cruda para imponer una función sobre otra: Dada alguna ecuación paramétrica $f:f(t) = (x(t),y(t))$ sobre la cual deseamos imponer alguna función $g(t)$:

$$Permite\;h(t)=\frac{\frac{d}{dt}(y(t))}{\frac{d}{dt}(x(t))}=f'(t)$$ $$Permite\;j(t)=tan^{-1}(h(t))\pm\frac{\pi}{2}$$ Entonces $g$ impuesto sobre $f$ se convierte en la siguiente ecuación paramétrica, en términos de $t$. $$(g(t)cos(j(t))+x(t),g(t)sin(j(t))+y(t))$$

Siento que debería aclarar ahora que, para la mayoría de $f$ y $g$, esta operación producirá dos funciones resultantes. Este hecho es resultado de la forma en que he definido esta operación. Es decir, estamos buscando cualquier punto $p_1$ en la línea normal de $f$ en $p_0$ de manera que la distancia entre $p_0$ y $p_1$ sea igual a $g(t)$. En términos más simples, estamos buscando en una línea un punto que esté a una distancia específica de otro punto en la línea. Ya sabemos que, para cualquier punto $p$ en una línea $l$, siempre habrá exactamente dos puntos en $l$ con una distancia $\delta$ del punto $p$, para todo $\delta > 0$. Este hecho es la razón por la cual estamos sumando o restando $\frac{\pi}{2}$ en $j$. El único caso que se me ocurre en el que esta operación no producirá dos funciones resultantes es cuando $g(t) = 0$, ya que cada función resultante será exactamente igual a la paramétrica $f(t); sin embargo, podría haber más.

Entonces, ignorando cualquier notación incorrecta o terminología que pueda haber utilizado, ¿se utiliza este tipo de transformación en matemáticas? En tal caso, ¿podrías mostrarme dónde puedo obtener más información al respecto?

Answer 1

Si entiendo tu descripción verbal, el "receptor" es una "curva regular" $$f(t) = \bigl(x(t), y(t)\bigr),$$ es decir, una curva (continuamente) diferenciable con velocidad no nula. Existe un campo tangente unitario $$T(t) = \frac{f'(t)}{\|f'(t)\|} = \frac{\bigl(x'(t), y'(t)\bigr)}{\sqrt{x'(t)^{2} + y'(t)^{2}}}$$ y un campo normal unitario $$N(t) = \frac{\bigl(-y'(t), x'(t)\bigr)}{\sqrt{x'(t)^{2} + y'(t)^{2}}}.$$ El resultado de "imponer" $g$ en $f$ es el par de curvas paramétricas $$\gamma(t) = f(t) \pm g(t)N(t).$$

La construcción común más cercana que viene a la mente es la evoluta, en la cual el impositor es el recíproco de la función de curvatura del receptor. (Como señala Rahul en los comentarios, si $g$ es constante, entonces $\gamma$ es una "curva paralela" a $f$.)

Puede buscar referencias sobre "geometría diferencial de curvas en el plano", "campo (unitario) normal", y similares.

Answer 2

Esto no responde a tu pregunta, pero permíteme hacer algunas observaciones. Deja que $E$ denote un espacio euclidiano.

Observación 0. Dada una función suficientemente buena $$f : E \leftarrow \mathbb{R}$$ (el receptor) obtenemos otra función

$$N(f) : E \leftarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$

definida de la siguiente manera: $N(f)(y,t)$ es el punto de altura $y$ por encima del punto $f(t)$ en la dirección normal a $f$ en $t$.

Observación 1. Dada una función (arbitraria) $$g : \mathbb{R} \leftarrow \mathbb{R},$$ obtenemos una función $$(g, \mathrm{id}) : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \leftarrow \mathbb{R}$$

dada de la siguiente manera

$$(g(x),x)=(g,\mathrm{id})(x)$$

Observación 2. El resultado de imponer $g$ sobre $f$ es:

$$N(f) \circ (g,\mathrm{id})$$

Answer 3

Existe una relación bastante natural con la física, específicamente con la noción de cambiar marcos de referencia.

Si agregas una simetría, como la longitud de las líneas, entonces la Relatividad de Einstein trata sobre esto. Entra en un marco de referencia válido y toma la línea del mundo de un cuerpo rígido, llama a esto la función receptora.

La línea del mundo de cualquier otra partícula en el marco de referencia de la función receptora es el mapa que preserva la distancia, llevando la trayectoria receptora al eje y. Básicamente, para intercambiar marcos de referencia con algún cuerpo, necesitas tomar su trayectoria y hacer que sea tu eje y, porque en el marco de reposo del objeto, se mueve solo en tiempo con velocidad 1.

Answer 4

Una idea similar pero no idéntica se utiliza en la transmisión de ondas de radio. En la modulación de amplitud (transmisión AM), una onda de radio de alta frecuencia (digamos 500 kHz, la función del receptor utilizando la terminología de esta pregunta) es modulada por una señal de audio (digamos 0-10 kHz, la función impositora). Cuando esta señal es recibida, la señal de audio se obtiene utilizando un filtro pasa bajos para eliminar la onda de radio. Por favor, eche un vistazo al artículo de wiki en https://en.wikipedia.org/wiki/Amplitude_modulation