Espacios vectoriales de dimensión fraccionaria

Question

¿Puede la noción de espacio vectorial o de álgebra sobre un campo extenderse significativamente a las dimensiones fraccionarias, de modo que, por ejemplo $\mathbb{R}^{-2/3}$ ¿tiene sentido? ¿Se ha explorado esto en alguna parte?

Sé que los superespacios vectoriales pueden considerarse como una forma de generalizar los espacios vectoriales a dimensiones enteras negativas. ¿Existe un concepto similar para las dimensiones que son números racionales? No me refiero a la dimensión de Hausdorff, porque no admite racionales negativos, y busco más bien extensiones desde un punto de vista más algebraico (dimensión como la traza del mapa de identidad), sin recurrir a una métrica determinada.

Answer 1

De hecho, hay muchos ejemplos en los que esto ocurre. Y como has sugerido, viene desde un punto de vista algebraico; concretamente en el ámbito de lo que se llama categorías de fusión . Se trata de categorías que vienen con bastantes datos para empezar. En particular, son monoidales, hay alguna noción de objetos simples, tienen duales y evaluación $$\epsilon:a\otimes a^*\longrightarrow 1$$ y mapas de coevaluación $$\hat{\epsilon}:\mathbb{1}\longrightarrow a\otimes a^*$$ asociado a cada objeto $a$ . Podemos entonces definir el rastrear de un morfismo $f:a\longrightarrow a$ para ser el compuesto $$1\xrightarrow{\epsilon}a\otimes a^* \xrightarrow{f\otimes id}a\otimes a^*\xrightarrow{\hat{\epsilon}}1$$ que es un elemento del anillo de endomorfismo del objeto unitario $1$ (este anillo suele ser un campo). (En aras de la brevedad, a partir de ahora asumiré que estas categorías son esférico es decir, la traza izquierda coincide con la traza derecha, por lo que no tenemos que hacer ninguna disticción demasiado complicada. Si la categoría no es esférica todavía podemos obtener alguna noción de dimensión, llamada norma cuadrada de un objeto, pero estoy tratando de mantener esto compacto). La dimensión de un objeto se define entonces, como sugieres, como $tr(id_a)$ .

Un ejemplo de esta categoría es la llamada Categoría Fibonnaci . Tiene dos objetos simples, $X$ y $1$ con $X=X^* = $ $ ^{*}X$ y $X\otimes X= 1 \oplus X$ . Utilizando la monoidalidad y la aditividad de todos los funtores, podemos entonces calcular $$dim(X) = (1+\sqrt{5})/2.$$ Hay una plétora de estas categorías, este es sólo un ejemplo. Espero haber podido transmitir las ideas.