¿Cuántos azulejos Tsuro diferentes pueden existir?

Question

El juego de mesa Tsuro consiste en fichas, que tienen 8 puntos de entrada cada una. Cada ficha conecta cada punto a otro punto exactamente. El manual del juego dice que cada ficha es única. El juego consiste en 34 fichas de este tipo.

¿Cuántos azulejos únicos podrían existir?

Mi razonamiento:

• Empiezas con 8 puntos gratis. Elige cualquier punto, ahora tienes 7 posibilidades para conectarte.
• Ahora tienes 6 puntos gratis. Elige cualquier punto, ahora tienes 5 posibilidades para conectarte.
• Ahora tienes 4 puntos gratis. Elige cualquier punto, ahora tienes 3 posibilidades para conectarte.
• Ahora tienes 2 puntos gratis. Conéctalos (no hay opción posible).

Esto llevaría a 7*5*3 : 105 posibilidades . Pero no sabría cómo eliminar los "dobles" causados por la rotación de un azulejo. ¿Debo dividir por 4, ya que son posibles 4 rotaciones? Serían 26 fichas... pero el juego en sí contiene 34 y son únicas.

¿Cómo debería razonar?

Answer 1

Se puede reducir aún más la $105$ posibles azulejos, hasta el mínimo posible de $35$ azulejos topológicamente únicos a través de $mod\, 8$ aritmética, $1+7=(8)=0$ .

Modulo $8$ aritmética (cada azulejo tiene $8$ puertos numerados $0123457$ ) permite $CW$ y $CCW 2$ -rotaciones dimensionales (no se puede dar la vuelta a un azulejo, ya que una vuelta representaría una $3D$ rotación). Para mantener esto simple, no hay números enteros negativos aquí, $0-1=7$ se está interpretando como $7+1=0$ .

A $45^{ \circ }$ La rotación se representa añadiendo/ restando 1 al/del puerto #.

Las rotaciones de $90^{ \circ }, 180^{ \circ }, 270^{ \circ }$ están representados por la adición/substracción $2, 4, 6$ respectivamente. Acabo de añadir $2, 4, 6$ sólo se utiliza como complemento.

Representan un par de dos puertos conectados de una baldosa por un $2$ -número de dígitos. Por ejemplo $15$ significa que el puerto #1 está conectado al puerto #5, es decir, no el decimal 15.

Representar cada azulejo a través de un conjunto cuádruple de pares de números, sin repetir los dígitos, por ejemplo $\{01, 23, 45, 67\}$ .

Nota $\{01, 14, 26, 57\}$ no es un azulejo válido ya que el dígito "1" -puerto#1- aparece dos veces.

Ejemplo de $180^{ \circ }$ rotación:

Azulejos $\{04, 12, 36, 57\}$ se rota $180^{ \circ }$ añadiendo (módulo 8) $+4$ a cada uno de sus dígitos.

$$0+4=4$$

$$4+4=(8)=0$$

$$1+4=5$$

$$2+4=6$$

$$3+4=7$$

$$6+4=(10)=2$$

$$5+4=(9)=1$$

$$7+4=(11)=3$$

Así, el azulejo rotado se convierte en $\{40, 56, 72, 13\}$ y ordenará/describirá sus puertos de bajo a alto (ya que cada par de números es conmutativo, $40=04$ y $72=27$ ).

Por lo tanto, este $180^{ \circ }$ El azulejo rotado se convierte en $\{04, 13, 27, 56\}$ .

Gira todo $105$ los azulejos de $0^{ \circ }, 90^{ \circ }, 180^{ \circ }, 270d^{ \circ }$ (encontrar y escribir todos los conjuntos de cuádruples).

Usa Excel, reordena los números de puerto # de bajo a alto, y elimina todos los azulejos duplicados.

Resultado final = $35$ conjuntos de cuádruples únicos que representan $35$ azulejos únicos.

Puede seguir el resumen de mi análisis en:

https://boardgamegeek.com/thread/1398585/tsuro-35-unique-tiles-math-proof-summary-and-tsuro

Un juego divertido. El análisis y la metodología de los azulejos fue ++divertido de realizar.

Answer 2

Hay 5 maneras de hacer un azulejo que es invariable bajo $90^ \circ $ rotaciones: Conecta una pinta a cualquier otro punto excepto a su predecesor o sucesor rotativo, entonces el resto queda fijo. Esto corregiría su conteo a $ \frac {105-5}4+5=29$ que es más, pero aún así es demasiado poco. También deberías contar, ¿cuántos azulejos son posibles con un $180^ \circ $ simetría. Por supuesto, la $90^ \circ $ Las baldosas simétricas están entre ellas, pero también hay algunas "nuevas" baldosas de este tipo. Si hay $k$ tales baldosas, entonces el recuento total se corrige a $ \frac {105-5-k}{4}+5+ \frac k2$ para que puedas hacer una adivinanza educada de lo que $k$ es ;)